5 Se dan $2n-1$ números reales positivos distintos con suma $S $ . Demuestre que hay al menos $\binom {2n-2}{n-1}$ maneras diferentes de elegir $n $ números entre ellos tales que su suma sea al menos $\frac {S}{2}$ . Propuesto por Amirhossein Gorzi

6 Sea $k>1$ un entero. La sucesión $a_1,a_2, \cdots$ se define como: $a_1=1, a_2=k$ y para todo $n>1$ tenemos: $a_{n+1}-(k+1)a_n+a_{n-1}=0$ Encuentre todos los enteros positivos $n$ tales que $a_n$ es una potencia de $k$ . Propuesto por Amirhossein Pooya

2 Sea $P$ un punto en el interior del cuadrilátero $ABCD$ tal que: $$\angle BPC=2\angle BAC \ \ ,\ \ \angle PCA = \angle PAD \ \ ,\ \ \angle PDA=\angle PAC$$ Demuestre que: $$\angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |$$ Propuesto por Ali Zamani

1 $ABCD$ es un trapecio con $AB \parallel CD$ . Las diagonales se intersecan en $P$ . Sea $\omega _1$ un círculo que pasa por $B$ y es tangente a $AC$ en $A$ . Sea $\omega _2$ un círculo que pasa por $C$ y es tangente a $BD$ en $D$ . $\omega _3$ es la circunferencia circunscrita del triángulo $BPC$ . Demuestre que la cuerda común de los círculos $\omega _1,\omega _3$ y la cuerda común de los círculos $\omega _2, \omega _3$ se intersecan entre sí sobre $AD$ . Propuesto por Kasra Ahmadi

6 En las celdas unitarias de una cinta transparente $1 \times 100$ , los números $1,2,\cdots,100$ están escritos en orden ascendente.Doblamos esta cinta por sus líneas en orden y direcciones arbitrarios hasta obtener una cinta $1 \times1$ con $100$ capas.En la cinta puede verse una permutación de los números $1,2,\cdots,100$ , de arriba hacia abajo. Demuestre que el número de permutaciones posibles está entre $2^{100}$ y $4^{100}$ . ( p. ej., podemos producir todas las permutaciones de los números $1,2,3$ con una cinta $1\times3$ ) Propuesto por Morteza Saghafian

1 Sea $n>1$ un entero. Demuestre que existe un entero $n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ tal que la siguiente ecuación tiene soluciones enteras con $a_m>0:$ $$\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}$$ Propuesto por Navid Safaei

5 $k,n$ son dos enteros positivos arbitrarios. Demuestre que existen al menos $(k-1)(n-k+1)$ enteros positivos que pueden producirse usando $n$ números $k$ y solo las operaciones $+,-,\times, \div$ y añadiendo paréntesis entre ellos, pero que no pueden producirse usando $n-1$ números $k$ . Propuesto por Aryan Tajmir

2 Encuentre el mayor número $n$ para el cual existen $n$ enteros positivos tales que ninguno de ellos divide a otro, pero entre cada tres de ellos, uno divide la suma de los otros dos. Propuesto por Morteza Saghafian

5 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle{C} = 90^{\circ}$ , y sea $H$ el pie de la altura desde $C$ . Se elige un punto $D$ dentro del triángulo $CBH$ de modo que $CH$ biseca a $AD$ . Sea $P$ el punto de intersección de las rectas $BD$ y $CH$ . Sea $\omega$ el semicírculo con diámetro $BD$ que corta al segmento $CB$ en un punto interior. Una recta que pasa por $P$ es tangente a $\omega$ en $Q$ . Demuestre que las rectas $CQ$ y $AD$ se cortan sobre $\omega$ .

6 En el triángulo $ABC$ sean $O$ y $H$ el circuncentro y el ortocentro. El punto $P$ es la reflexión de $A$ con respecto a $OH$ . Suponga que $P$ no está del mismo lado de $BC$ que $A$ . Los puntos $E,F$ están sobre $AB,AC$ respectivamente tales que $BE=PC \ , CF=PB$ . Sea $K$ el punto de intersección de $AP,OH$ . Demuestre que $\angle EKF = 90 ^{\circ}$ Propuesto por Iman Maghsoudi