5 Sea \(\mathbb{Z}_{>0}\) el conjunto de todos los enteros positivos. Determina todos los subconjuntos \(\mathcal{S}\) de \(\{2^{0},2^{1},2^{2},\ldots\}\) para los cuales existe una función \(f\colon\mathbb{Z}_{>0}\to\mathbb{Z}_{>0}\) tal que \[\mathcal{S}=\{f(a+b)-f(a)-f(b)\mid a,b\in\mathbb{Z}_{>0}\}.\] Pitchayut Saengrungkongka, Tailandia

8.1 Se dan una circunferencia $\omega$ con centro en $O$ y un punto $P$ en su interior. Sea $X$ un punto arbitrario de $\omega$ ; la recta $XP$ y la circunferencia $XOP$ cortan a $\omega$ por segunda vez en los puntos $X_1$ , $X_2$ , respectivamente. Demuestre que todas las rectas $X_1X_2$ son paralelas.

24 Sea $SABC$ una pirámide con ángulos rectos en el vértice $S$ . Los puntos $A', B', C'$ se encuentran sobre las aristas $SA, SB, SC$ , respectivamente, de tal manera que los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ son semejantes. ¿Se sigue de esto que los planos $ABC$ y $A'B'C'$ son paralelos?

18 Sean $AA_1, BB_1, CC_1$ las alturas de un triángulo acutángulo $ABC$ ; $I_a$ su excentro correspondiente a $A$ ; $I_a'$ la reflexión de $I_a$ respecto a la recta $AA_1$ . Los puntos $I_b', I_c'$ se definen de manera similar. Demuestre que las rectas $A_1I_a', B_1I_b', C_1I_c'$ concurren.

21 Una cuerda $PQ$ de la circunferencia circunscrita de un triángulo $ABC$ se encuentra con los lados $BC, AC$ en los puntos $A', B'$ respectivamente. Las tangentes a la circunferencia circunscrita en $A$ y $B$ se encuentran en un punto $X$ , y las tangentes en los puntos $P$ y $Q$ se encuentran en el punto $Y$ . La recta $XY$ se encuentra con $AB$ en un punto $C'$ . Demuestre que las rectas $AA', BB'$ y $CC'$ concurren.

22 Se da un segmento $AB$ . Sea $C$ un punto arbitrario de la mediatriz de $AB$ ; sea $O$ el punto de la circunferencia circunscrita de $ABC$ opuesto a $C$ ; y sea una elipse con centro en $O$ tangente a $AB, BC, CA$ . Halle el lugar geométrico de los puntos de tangencia de la elipse con la recta $BC$ .

16 Sean $AA_1, BB_1, $ y $CC_1$ las bisectrices de un triángulo $ABC$ . Los segmentos $BB_1$ y $A_1C_1$ se encuentran en el punto $D$ . Sea $E$ la proyección de $D$ sobre $AC$ . Los puntos $P$ y $Q$ en los lados $AB$ y $BC$ respectivamente son tales que $EP = PD, EQ = QD$ . Demuestre que $\angle PDB_1 = \angle EDQ$ .

19 Demuestre que existe, para $n \geq 4$ , un conjunto $S$ de $3n$ circunferencias iguales en el espacio que puede ser particionado en tres subconjuntos $s_5, s_4$ , y $s_3$ , cada uno conteniendo $n$ circunferencias, tal que cada circunferencia en $s_r$ toca exactamente $r$ circunferencias en $S.$ Amir

Suponga que $a$ , $b$ y $c$ son números reales no nulos que satisfacen $abc=2$ . Demuestre que entre los tres números $2a-\frac{1}{b}$ , $2b-\frac{1}{c}$ y $2c-\frac{1}{a}$ , a lo sumo dos de ellos son mayores que $2$ .

6 Sean $a_1,a_2,\ldots,a_n$ números reales no negativos , $S_k= \sum\limits_{i=1}^{k}a_i $ $(1\le k\le n)$ . Demuestre que $$\sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\sum\limits_{j=i}^{n}a^2_j\right)\le \sum\limits_{i=1}^{n}\left(a_iS_i\right)^2$$