5 El barco enemigo ha aterrizado en un tablero de $9\times 9$ y cubre exactamente $5$ casillas del tablero, así: El barco es invisible. Cada misil defensivo cubre exactamente una casilla, y destruye el barco si impacta en una de las $5$ casillas que ocupa. Determina el número mínimo de misiles necesarios para destruir el barco enemigo con certeza.

2 Sobre cuatro círculos $k, k_1, k_2, k'$ se supone lo siguiente: Los círculos $k_1$ y $k_2$ son tangentes exteriormente entre sí; los centros de $k_1$ , $k_2$ , y $k$ se encuentran sobre una recta común; los círculos $k_1$ y $k_2$ son tangentes interiormente al círculo $k$ ; el círculo $k'$ es tangente exteriormente a los círculos $k_1$ y $k_2$ e interiormente al círculo $k$. Demuestre, bajo estos supuestos, que para los radios $r, r'$ de $k$ y $k'$ , respectivamente, se cumple $ r'\le \frac{r}{3}$.

2 Una hoja de papel rectangular (blanca de un lado y gris del otro) se dobló tres veces, como se muestra en la figura: El rectángulo $1$, que era blanco después del primer doblez, tiene $20$ cm más de perímetro que el rectángulo $2$, que era blanco después del segundo doblez, y este a su vez tiene $16$ cm más de perímetro que el rectángulo $3$, que era blanco después del tercer doblez. Determina el área de la hoja.

1 Como se muestra en la figura, dado $\vartriangle ABC$ con $\angle B$ , $\angle C$ agudos, $AD \perp BC$ , $DE \perp AC$ , $M$ el punto medio de $DE$ , $AM \perp BE$. Demuestre que $\vartriangle ABC$ es isósceles.

3 Como se muestra en la figura, $A,B$ son dos puntos fijos de la circunferencia $\odot O$ , $C$ es el punto medio del arco mayor $AB$ y $D$ es un punto cualquiera del arco menor $AB$. La tangente en $D$ interseca las tangentes en $A,B$ en los puntos $E,F$ respectivamente. Los segmentos $CE$ y $CF$ intersecan la cuerda $AB$ en los puntos $G$ y $H$ respectivamente. Demuestre que la longitud del segmento $GH$ tiene un valor fijo.

4 Como se muestra en la figura, se colocan piezas de ajedrez en los puntos de intersección de las $64$ líneas de la cuadrícula del tablero $7\times 7$. En cada punto se coloca a lo sumo $1$ pieza, y se colocan en total $k$ piezas de ajedrez. Sin importar cómo se coloquen, siempre habrá $4$ piezas cuyos puntos de ubicación forman los cuatro vértices de un rectángulo (los lados del rectángulo son paralelos a las líneas de la cuadrícula). Halle el valor mínimo de $k$.

1 Como se muestra en la figura, dado $\vartriangle ABC$ con $AB \perp AC$ , $AB=BC$ , $D$ es el punto medio del lado $AB$ , $DF\perp DE$ , $DE=DF$ y $BE \perp EC$. Demuestre que $\angle AFD= \angle CEF$.

6 Como se muestra en la figura, se sabe que $M$ es el punto medio del lado $BC$ de $\vartriangle ABC$. $\odot O$ pasa por los puntos $A, C$ y es tangente a $AM$. La prolongación del segmento $BA$ interseca a $\odot O$ en el punto $D$. Las rectas $CD$ y $MA$ se intersecan en el punto $P$. Demuestre que $PO \perp BC$.

1A Como se muestra en la figura, $\odot O$ es la circunferencia inscrita del trapecio $ABCD$ , los puntos de tangencia son $E, F, G, H$ y $AB \parallel CD$. La recta que pasa por $ B$ , paralela a $AD$ , interseca la prolongación de $DC$ en el punto $P$. La prolongación de $AO$ interseca a $CP$ en el punto $Q$. Si $AE=BE$ , demuestre que $\angle CBQ = \angle PBQ$.

7 Dada una red de triángulos equiláteros compuesta por $\frac{n(n+1)}{2}$ puntos (como se muestra en la figura), denote por $f(n)$ el número de triángulos equiláteros que tienen tres puntos de la red como vértices. Halle una expresión para $f(n)$.