4 Sobre la recta que contiene al diámetro $PQ$ de la circunferencia $k(S,r)$ , se elige el punto $A$ fuera de la circunferencia tal que la tangente $t$ trazada desde el punto $A$ toca a la circunferencia en el punto $T$ . Las tangentes a la circunferencia $k$ en los puntos $P$ y $Q$ son $p$ y $q$ , respectivamente. Si $PT \cap q={N}$ y $QT \cap p={M}$ , demuestre que los puntos $A$ , $M$ y $N$ son colineales.

5 Si para una permutación arbitraria $(a_1,a_2,...,a_n)$ del conjunto ${1,2,...,n}$ se cumple $\frac{{a_k}^2}{a_{k+1}}\leq k+2$ , $k=1,2,...,n-1$ , demuestre que $a_k=k$ para $k=1,2,...,n$

1 El círculo $k$ con centro $O$ es tangente interiormente a dos círculos en los puntos $S$ y $T,$ respectivamente. Sean esos dos círculos intersecándose en los puntos $M$ y $N$ , tales que $N$ está más cerca de la recta $ST$ . Demuestre que $OM$ y $MN$ son perpendiculares si y solo si $S$ , $N$ y $T$ son colineales

2 Determine si existe un triángulo de área $2004$ cuyos lados son enteros positivos.

1 En un tablero están escritos los números: $5$ , $7$ y $9$ . En cada paso hacemos lo siguiente: para cada par $(a,b)$ , $a>b$ , de números del tablero, escribimos además el número $5a-4b$ . ¿Es posible que después de algunas iteraciones, $2003$ aparezca en el tablero ?

2 Sobre los lados $AB$ y $BC$ del triángulo $ABC$ se construyen los cuadrados $ABB_{1}A_{1}$ y $BCC_{1}B_{2}$ . Demuestre que las rectas $AC_{1}$ , $CA_{1}$ y la altura desde $B$ al lado $AC$ son concurrentes.

6 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales tales que $\mid a \mid >2$ y $a^2+b^2+c^2=abc+4$ . Demuestre que existen números $x$ e $y$ tales que $a=x+\frac{1}{x}$ , $b=y+\frac{1}{y}$ y $c=xy+\frac{1}{xy}$ .

4 En una competencia en la que hay $16$ equipos, se juegan $55$ partidos. Demuestre que entre ellos existen $3$ equipos tales que no han jugado ningún partido entre sí.

3 Sean $a$ , $b$ y $c$ números reales positivos tales que $abc=1$ . Demuestre la desigualdad: $\frac{ab}{a^5+b^5+ab} +\frac{bc}{b^5+c^5+bc}+\frac{ac}{c^5+a^5+ac}\leq 1$

5 Para $0 \leq x < \frac{\pi}{2} $ demuestre la desigualdad: $a^2\tan(x)\cdot(\cos(x))^{\frac{1}{3}}+b^2\sin{x}\geq 2xab$ donde $a$ y $b$ son números reales.