6 Demuestre que para todo primo $p>3$ , $\binom{2p}{p}-2$ es divisible por $p^3$

2 Un $2001$ -ágono regular y un $2002$ -ágono regular están inscritos en una circunferencia. Demuestre que existen dos vértices de estos polígonos que determinan un arco de longitud a lo sumo $\frac{\pi}{4006002}$ .

3 Sean dos números primos naturales $ 1\le q \le p. $ Demuestre que $ \left( \sqrt{p^2+q} +p\right)^2 $ es irracional y que su parte fraccionaria supera $ 3/4. $

4 Demuestre que existe un conjunto $ A $ formado por $2002$ números naturales distintos que satisface la condición: para cada $ a \in A $ , el producto de todos los números de $ A $ , excepto $ a $ , al dividirlo por $ a $ da resto $1$ .

5 Dos jugadores juegan un juego con dos montones de piedras: el primero contiene $2001$ piedras y el segundo contiene $2002$ piedras. En cada movimiento, un jugador puede retirar una piedra de ambos montones o retirar una piedra de exactamente un montón. El jugador que toma la última piedra gana. ¿Qué jugador tiene una estrategia ganadora bajo juego óptimo?

6 En el triángulo $ ABC $ , $ \angle B> 90^{\circ} $ y sobre el lado $ AC $ hay un punto $ H $ tal que $ AH = BH $ y la recta $ BH $ es perpendicular a $ BC $ . Denote por $ D $ y $ E $ los puntos medios de $ AB $ y $ BC $ , respectivamente. La recta trazada por $ H $ paralela a $ AB $ interseca a $ DE $ en $ F $ . Demuestre que $ \angle BCF = \angle ACD. $

7 Un tablero $n \times n$ está coloreado como un tablero de ajedrez. Se permite la siguiente operación: elegir un rectángulo cuyas longitudes de lado tengan la misma paridad pero no sean ambas iguales a $1$ , y cambiar los colores de todas las celdas de este rectángulo por los opuestos. Halle todos los valores de $n$ para los cuales es posible, tras un número finito de operaciones, hacer que el tablero sea monocromático.

3 Halle el menor número $ c $ que satisface la siguiente propiedad: sobre los lados de cualquier triángulo de perímetro $1$ se pueden encontrar dos puntos que dividen el perímetro por la mitad y que están separados por una distancia de no más de $ c $ .

4 Sea $ \omega $ la circunferencia inscrita del triángulo $ ABC $ que toca el lado $ BC $ en el punto $ A '$ . Sea $ AA '$ la que interseca a $ \omega $ en $ P \neq A $ . Sean $ CP $ y $ BP $ las que intersecan a $ \omega $ , respectivamente, en los puntos $ N $ y $ M $ distintos de $ P $ . Demuestre que $ AA ', BN $ y $ CM $ se intersecan en un mismo punto.

2 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales arbitrarios. Demuestre la desigualdad \[ \frac{x_1}{1+x_1^2} + \frac{x_2}{1+x_1^2 + x_2^2} + \cdots + \frac{x_n}{1 + x_1^2 + \cdots + x_n^2} < \sqrt{n}. \]