Dos rombos $ABCD$ y $AXYZ$ son exteriores entre sí con un vértice común $A$ . Los vértices de los rombos están etiquetados en el sentido de las agujas del reloj. Si $\angle DAX = \angle BAZ$ , demuestre que los centros de los rombos y el punto medio del segmento $BZ$ forman un triángulo isósceles.

6 Sean $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ dos circunferencias que se intersecan en los puntos $A$ y $B$ . Sea $C$ un punto sobre la recta $AB$ tal que $B$ está entre $A$ y $C$ . Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ , respectivamente, tales que $CP$ y $CQ$ son tangentes a $\mathcal{C}_1$ y $\mathcal{C}_2$ , respectivamente, $P$ no está dentro de $\mathcal{C}_2$ y $Q$ no está dentro de $\mathcal{C}_1$ . La recta $PQ$ corta a $\mathcal{C}_1$ en $R$ y a $\mathcal{C}_2$ en $S$ , ambos puntos distintos de $P$ , $Q$ y $B$ . Suponga que $CR$ corta nuevamente a $\mathcal{C}_1$ en $X$ y que $CS$ corta nuevamente a $\mathcal{C}_2$ en $Y$ . Sea $Z$ un punto sobre la recta $XY$ . Demuestre que $SZ$ es paralela a $QX$ si y solo si $PZ$ es paralela a $RX$ .

5 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $BC$ y $AD$ . Suponga que $\angle BDC=10^{\circ}$ y $\angle BDA=70^{\circ}$ . Demuestre que $AD^2=BC(AD+AB)$ .

6 Halle todos los enteros positivos $n$ y las sucesiones de enteros $a_0,a_1,\ldots, a_n$ tales que se cumpla lo siguiente: 1. $a_n\neq 0$ ; 2. $f(a_{i-1})=a_i$ para todo $i=1,\ldots, n$ , donde $f(x) = a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_0$ . Propuesto por usjl

5 Sea $ABC$ un triángulo escaleno. Sea $H$ su ortocentro y sea $D$ el pie de la altura desde $A$ sobre $BC$ . Además, sean $S$ y $T$ puntos sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ tales que $\angle BSH=\angle CTH=90^{\circ}$ . Dado que $AH=2HD$ , demuestre que $D,S,T$ son colineales.

4 Demuestre que $\sqrt 3$ es irracional.

1 En el triángulo $ABC$ , $\angle A=90^{\circ}$ y $M$ es el punto medio de $BC$ . El punto $D$ se elige sobre el segmento $AC$ tal que $AM=AD$ , y $P$ es el segundo punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $\Delta AMC,\Delta BDC$ . Demuestre que la recta $CP$ biseca al $\angle ACB$ .

1 Dado un triángulo $ABC$ . Sea $BPCQ$ un paralelogramo ( $P$ no está sobre $BC$ ) . Sea $U$ la intersección de $CA$ y $BP$ , sea $V$ la intersección de $AB$ y $CP$ , sea $X$ la intersección de $CA$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABQ$ distinta de $A$ , y sea $Y$ la intersección de $AB$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ACQ$ distinta de $A$ . Demuestre que $\overline{BU} = \overline{CV}$ si y solo si las rectas $AQ$ , $BX$ y $CY$ son concurrentes. Propuesto por Li4.

1 Si $a$ y $b$ son enteros positivos, decimos que $a$ casi divide a $b$ si $a$ divide al menos a uno de $b - 1$ y $b + 1$ . Llamamos a un entero positivo $n$ casi primo si se cumple lo siguiente: para cualesquiera enteros positivos $a, b$ tales que $n$ casi divide a $ab$ , se tiene que $n$ casi divide al menos a uno de $a$ y $b$ . Determine todos los números casi primos. Enlace original https://mathematical.olympiad.ch/fileadmin/user_upload/Archiv/Intranet/Olympiads/Mathematics/deploy/exams/2024/FinalRound/Exam/englishFinalRound2024.pdf !!

3 Halle todas las funciones $f$ de los números reales en los números reales tales que $$2f((x+y)^2)=f(x+y)+(f(x))^2+(4y-1)f(x)-2y+4y^2$$ se cumple para todos los números reales $x$ y $y$ .