N1 ¿Existen enteros positivos $a, b, c$ tales que $4(ab - a - c^2) = b$ ?

C3 Se juega un juego en un tablero de ajedrez de $m \times n$ . Al principio, hay una moneda en una de las casillas. Dos jugadores se turnan para mover la moneda a una casilla adyacente (horizontal o verticalmente). La moneda nunca puede moverse a una casilla que haya sido ocupada antes. Si un jugador no puede mover más, pierde. Demuestre: Si el tamaño (número de casillas) del tablero es par, entonces el jugador que mueve primero tiene una estrategia ganadora, independientemente de la posición inicial. Si el tamaño del tablero es impar, entonces el jugador que mueve primero tiene una estrategia ganadora si y solo si la moneda está inicialmente colocada en una casilla cuyo color no es el mismo que el color de las esquinas.

G3 Dado un triángulo $ABC$ , sea $D$ la intersección de la recta que pasa por $A$ perpendicular a $AB$ , y la recta que pasa por $B$ perpendicular a $BC$ . Sea $P$ un punto interior del triángulo. Demuestre que $DAPB$ es cíclico si y solo si $\angle BAP = \angle CBP$ .

G1 En un triángulo $ABC$ , sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , respectivamente, y sea $F$ el pie de la altura trazada desde $A$ . Demuestre que la recta $DE$ , la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ y la circunferencia circunscrita de $ACF$ pasan por un punto común. Versión alterna: En un triángulo $ABC$ , sean $D$ y $E$ los puntos medios de $AB$ y $AC$ , respectivamente. La recta $DE$ y la bisectriz del ángulo $\angle ACB$ se cortan en $G$ . Demuestre que $\angle AGC$ es un ángulo recto.

C4 Siete ciclistas se siguen uno a otro, en línea, por un camino angosto. Al final del entrenamiento, cada ciclista se queja del estilo de conducción del que va delante de él. Acuerdan reordenarse al día siguiente, de modo que ningún ciclista siga al mismo ciclista que siguió el primer día. ¿Cuántos reordenamientos de este tipo son posibles?

G3 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con sus diagonales intersectándose en $E$ . Sea $M$ el punto medio de $AB$ . Suponga que $ME$ es perpendicular a $CD$ . Muestre que o bien $AC$ es perpendicular a $BD$ , o bien $AB$ es paralelo a $CD$ .

1 Halle todos los enteros positivos $n$ con la siguiente propiedad: para todos los divisores positivos $d$ de $n$ , se tiene que $d+1\mid n$ o $d+1$ es primo. KevinYang2.71

2 ¿Existe un triángulo con área $12 \, cm^2$ y perímetro $12$ cm?

N5 Halle todas las cuádruplas $(a, b, c, d)$ de enteros positivos tales que \[ \left( 1 + \frac{1}{a} \right) \left( 1 + \frac{1}{b} \right) \left( 1 + \frac{1}{c} \right) \left( 1 + \frac{1}{d} \right) = 4. \]

2 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico tal que $AC<BD<AD$ y $\angle DBA<90^\circ$ . El punto $E$ se encuentra sobre la recta que pasa por $D$ paralela a $AB$ , de modo que $E$ y $C$ están en lados opuestos de la recta $AD$ , y $AC=DE$ . El punto $F$ se encuentra sobre la recta que pasa por $A$ paralela a $CD$ , de modo que $F$ y $C$ están en lados opuestos de la recta $AD$ , y $BD=AF$ . Demuestre que las mediatrices de los segmentos $BC$ y $EF$ se cortan sobre la circunferencia circunscrita de $ABCD$ . Propuesto por Mykhailo Shtandenko, Ukraine