12 Sea $\{x_i\}, 1\le i\le 6$ un conjunto dado de seis enteros, ninguno de los cuales es divisible por $7$. (a) Demuestra que al menos una de las expresiones de la forma $x_1\pm x_2\pm x_3\pm x_4\pm x_5\pm x_6$ es divisible por $7$, donde los signos $\pm$ son independientes entre sí. (b) Generaliza el resultado a todo número primo.

10 En $\triangle ABC$, demuestra que $1< \sum_{cyc}{\cos A}\le \frac{3}{2}$.

15 Dado $\triangle ABC$, sea $R$ su circunradio y $q$ el perímetro de su triángulo excentral. Demuestra que $q\le 6\sqrt{3} R$. Nota del tipógrafo: el triángulo excentral tiene como vértices los excentros del triángulo original.

Sean \(ABCD\) y \(A'B'C'D'\) dos cuadrados arbitrarios en el plano, orientados en la misma dirección. Demuestra que el cuadrilátero formado por los puntos medios de \(AA'\), \(BB'\), \(CC'\), \(DD'\) es un cuadrado.

C4 Tenemos un grupo de $n$ niños. Para cada par de niños, al menos uno ha enviado un mensaje al otro. Para cada niño $A$ , entre los niños a quienes $A$ ha enviado un mensaje, exactamente $25 \% $ le han enviado un mensaje a $A$ . ¿Cuántos valores posibles de dos cifras de $n$ hay? Propuesto por Bulgaria

13. Cada lado de un triángulo arbitrario $\triangle ABC$ se divide en partes iguales, y se trazan líneas paralelas a $AB,BC,CA$ a través de cada uno de estos puntos, cortando así a $\triangle ABC$ en triángulos pequeños. A los puntos se les asigna un número de la siguiente manera: $(1)$ $A,B,C$ reciben $1,2,3$ respectivamente $(2)$ Los puntos sobre $AB$ reciben $1$ o $2$ $(3)$ Los puntos sobre $BC$ reciben $2$ o $3$ $(4)$ Los puntos sobre $CA$ reciben $3$ o $1$ Demuestra que debe existir un triángulo pequeño cuyos vértices estén marcados con $1,2,3$.

24 Sean $\{n,p\}\in\mathbb{N}\cup \{0\}$ tales que $2p\le n$. Demuestra que $\frac{(n-p)!}{p!}\le \left(\frac{n+1}{2}\right)^{n-2p}$. Determina todas las condiciones bajo las cuales se da la igualdad.

25 Sea \( f \) una función real definida para \( 0\le x\le 1 \), con su primera derivada \( f' \) definida para \( 0\le x\le 1 \) y su segunda derivada \( f'' \) definida para \( 0<x<1 \). Demuestra que si \( f(0)=f'(0)=f'(1)=f(1)-1 =0 \), entonces existe un número \( 0<y<1 \) tal que \( |f''(y)|\ge 4 \).

6 Sean $x_1, x_2, \ldots , x_n \ (n \geq 1)$ números reales tales que $0 \leq x_j \leq \pi, \ j = 1, 2,\ldots, n.$ Demuestre que si $\sum_{j=1}^n (\cos x_j +1) $ es un entero impar, entonces $\sum_{j=1}^n \sin x_j \geq 1.$ Amir

23 ¿Para qué enteros positivos $n$ existen dos polinomios $f$ y $g$ con coeficientes enteros de $n$ variables $x_1, x_2, \ldots , x_n$ tales que se satisface la siguiente igualdad: \[\sum_{i=1}^n x_i f(x_1, x_2, \ldots , x_n) = g(x_1^2, x_2^2, \ldots , x_n^2) \ ? \] Amir