1 $M$ es un punto cualquiera sobre el lado $AB$ del triángulo $ABC$ . $r,r_1,r_2$ son los radios de los círculos inscritos en $ABC,AMC,BMC$ . $q$ es el radio del círculo en el lado opuesto de $AB$ respecto de $C$ , tangente al lado $AB$ y a las extensiones de $CA$ y $CB$ . Análogamente, $q_1$ y $q_2$ . Demuestre que $r_1r_2q=rq_1q_2$ .

6 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Denotamos por $\deg(P)$ su grado, que es $\geq 1.$ Sea $n(P)$ el número de todos los enteros $k$ para los cuales tenemos $(P(k))^{2}=1.$ Demuestre que $n(P)- \deg(P) \leq 2.$

Una triangulación $ \mathcal{T}$ de un polígono $ P$ es una colección finita de triángulos cuya unión es $ P,$ y tal que la intersección de cualesquiera dos triángulos es vacía, o un vértice compartido, o un lado compartido. Además, cada lado de $ P$ es lado de exactamente un triángulo en $ \mathcal{T}.$ Di que $ \mathcal{T}$ es admisible si todo vértice interno es compartido por $ 6$ o más triángulos. Por ejemplo [asy] size(100); dot(dir(-100)^^dir(230)^^dir(160)^^dir(100)^^dir(50)^^dir(5)^^dir(-55)); draw(dir(-100)--dir(230)--dir(160)--dir(100)--dir(50)--dir(5)--dir(-55)--cycle); pair A = (0,-0.25); dot(A); draw(A--dir(-100)^^A--dir(230)^^A--dir(160)^^A--dir(100)^^A--dir(5)^^A--dir(-55)^^dir(5)--dir(100)); [/asy] Demuestra que existe un entero $ M_n,$ que depende solo de $ n,$ tal que cualquier triangulación admisible de un polígono $ P$ con $ n$ lados tiene a lo más $ M_n$ triángulos.

1 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que el conjunto $\{n,n+1,n+2,n+3,n+4,n+5\}$ puede ser particionado en dos subconjuntos de modo que el producto de los números de cada subconjunto sea igual.

2 En el tetraedro $ABCD,\angle BDC=90^o$ y el pie de la perpendicular trazada desde $D$ al plano $ABC$ es la intersección de las alturas de $ABC$ . Demuestre que: \[ (AB+BC+CA)^2\le6(AD^2+BD^2+CD^2). \] ¿Cuándo tenemos igualdad?

3 Dados $100$ puntos coplanares, sin tres colineales, demuestre que a lo sumo el $70\%$ de los triángulos formados por los puntos tienen todos sus ángulos agudos.

1 Sea \[ E_n=(a_1-a_2)(a_1-a_3)\ldots(a_1-a_n)+(a_2-a_1)(a_2-a_3)\ldots(a_2-a_n)+\ldots+(a_n-a_1)(a_n-a_2)\ldots(a_n-a_{n-1}). \] Sea $S_n$ la proposición de que $E_n\ge0$ para todos los reales $a_i$ . Demuestre que $S_n$ es verdadera para $n=3$ y $5$ , pero para ningún otro $n>2$ .

2 Sea $P_1$ un poliedro convexo con vértices $A_1,A_2,\ldots,A_9$ . Sea $P_i$ el poliedro obtenido a partir de $P_1$ mediante una traslación que mueve $A_1$ a $A_i$ . Demuestre que al menos dos de los poliedros $P_1,P_2,\ldots,P_9$ tienen un punto interior en común.

3 Demuestre que podemos encontrar un conjunto infinito de enteros positivos de la forma $2^n-3$ (donde $n$ es un entero positivo) tales que cada par de ellos son primos relativos.

1 Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son acutángulas. Tome un punto $X$ en el interior del segmento $AB$ , y análogamente $Y$ en $BC, Z$ en $CD$ y $T$ en $AD$ . a.) Si $\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC$ , entonces demuestre que ninguno de los caminos cerrados $XYZTX$ tiene longitud mínima; b.) Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$ , entonces hay infinitos caminos más cortos $XYZTX$ , cada uno con longitud $2AC\sin k$ , donde $2k=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$ .