2 Resuelva en el conjunto de los números racionales la ecuación $$2\sqrt{3(x + 1)^2} -3 \sqrt{2(y - 2)^2}= 4\sqrt2 + 5|\sqrt2 - \sqrt3|$$

1 Los números reales no nulos $a, b, c$ satisfacen la condición $\frac{1}{a}+\frac{2}{b}+\frac{3}{c}= 0$ . Determine el valor de $w =\frac{3b + 2c}{6a}+\frac{2c + 6a}{3b}+\frac{6a + 3b}{2c}$ .

4 La suma de los ángulos sobre la base mayor de un trapecio es $90^o$ . Demuestre que el segmento de recta cuyos extremos son los puntos medios de las bases es igual al segmento de recta cuyos extremos son los puntos medios de las diagonales.

4 Una Figura Tetris es toda figura del plano que consiste en $4$ cuadrados unitarios unidos por sus lados (y que no se superponen). Dos Figuras Tetris son iguales si una puede rotarse en el plano para convertirse en la otra. a) Demuestre que existen exactamente $7$ Figuras Tetris diferentes. b) ¿Es posible llenar un rectángulo de $4 \times 7$ usando una vez cada una de las $7$ Figuras Tetris diferentes?

3 Los números racionales están escritos en la siguiente sucesión: $\frac{1}{1},\frac{2}{1},\frac{1}{2},\frac{3}{1},\frac{2}{2},\frac{1}{3},\frac{4}{1},\frac{3}{2},\frac{2}{3},\frac{1}{4}, . . .$ ¿En qué posición de esta sucesión se encuentra $\frac{2005}{2004}$ ?

2 Sea n un entero positivo. Demuestre la siguiente afirmación: "Si $2 + 2\sqrt{1 + 28n^2}$ es un entero, entonces es el cuadrado de un entero.

Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con $AB = BC$ . La mediatriz de $AB$ interseca a $BC$ en $D$ , y a la circunferencia circunscrita $\omega$ de $\triangle ADC$ nuevamente en el punto $E$ . Sea $F$ el punto diametralmente opuesto a $E$ en $\omega$ . Demuestre que $BD=DF$

Se da una tabla de dimensiones $n \times n$ , donde $n \ge 2$ . Cada una de sus casillas está coloreada de rojo o de azul. A cada casilla de la tabla le asignamos un par ordenado $(a,b)$ , donde $a$ es el número de casillas de su misma fila que tienen el mismo color que ella, y $b$ es el número de casillas de su misma columna que tienen el mismo color que ella (en ambos casos la casilla misma está incluida en el conteo). ¿Para qué valores de $n$ es posible colorear la tabla de modo que todas las casillas de la tabla reciban pares ordenados distintos? Nota: Dos pares ordenados $(x,y)$ y $(x',y')$ se dicen diferentes si $x \ne x'$ o $y \ne y'$ .

Halle todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todos los números reales $x$ e $y$ se cumple lo siguiente: $$x f(x + f(y)) + f(-xy) = f(x)^2.$$

Determine todos los conjuntos finitos y no vacíos $\mathcal{S}$ de enteros positivos tales que para todo $a,b\in\mathcal{S}$ existe $c\in\mathcal{S}$ con $a\mid b+2c$ .