5 Un pentágono equilátero $AMNPQ$ está inscrito en el triángulo $ABC$ tal que $M\in\overline{AB}$, $Q\in\overline{AC}$, y $N,P\in\overline{BC}$. Sea $S$ la intersección de $\overleftrightarrow{MN}$ y $\overleftrightarrow{PQ}$. Denota por $\ell$ la bisectriz del ángulo $\angle MSQ$. Demuestra que $\overline{OI}$ es paralelo a $\ell$, donde $O$ es el circuncentro del triángulo $ABC$, e $I$ es el incentro del triángulo $ABC$.

Se dan los enteros $n$ y $k$, con $n\ge k\ge2$. Juegas el siguiente juego contra un mago malvado. El mago tiene $2n$ cartas; para cada $i=1,\ldots,n$, hay dos cartas etiquetadas con $i$. Inicialmente, el mago coloca todas las cartas boca abajo en una fila, en orden desconocido. Puedes hacer movimientos repetidamente de la siguiente forma: señalas cualesquiera $k$ de las cartas. El mago entonces voltea esas cartas boca arriba. Si dos de las cartas coinciden, el juego termina y ganas. Si no, debes mirar hacia otro lado, mientras el mago permuta arbitrariamente las $k$ cartas elegidas y luego las vuelve a poner boca abajo. Entonces, es tu turno de nuevo. Decimos que este juego es ganable si existen algún entero positivo $m$ y alguna estrategia que garantice ganar en a lo más $m$ movimientos, sin importar cómo responda el mago. ¿Para qué valores de $n$ y $k$ es ganable el juego?

Resuelve en enteros la ecuación \[ x^2+xy+y^2 = \left(\frac{x+y}{3}+1\right)^3. \]

2 Cuadrilátero $APBQ$ está inscrito en la circunferencia $\omega$ con $\angle P = \angle Q = 90^{\circ}$ y $AP = AQ < BP$. Sea $X$ un punto variable en el segmento $\overline{PQ}$. La recta $AX$ corta a $\omega$ nuevamente en $S$ (distinto de $A$). El punto $T$ está en el arco $AQB$ de $\omega$ tal que $\overline{XT}$ es perpendicular a $\overline{AX}$. Sea $M$ el punto medio de la cuerda $\overline{ST}$. Conforme $X$ varía en el segmento $\overline{PQ}$, demuestra que $M$ se mueve a lo largo de una circunferencia.

3 Sea $S = \left\{ 1,2,\dots,n \right\}$, donde $n \ge 1$. Cada uno de los $2^n$ subconjuntos de $S$ debe colorearse de rojo o azul. (Al subconjunto en sí se le asigna un color, no a sus elementos individuales). Para cualquier conjunto $T \subseteq S$, escribimos $f(T)$ para el número de subconjuntos de $T$ que son azules. Determina el número de coloraciones que satisfacen la siguiente condición: para cualesquiera subconjuntos $T_1$ y $T_2$ de $S$, \[ f(T_1)f(T_2) = f(T_1 \cup T_2)f(T_1 \cap T_2). \]

4 Steve está apilando $m\geq 1$ piedras indistinguibles en los cuadrados de una cuadrícula de $n\times n$. Cada cuadrado puede tener una pila de piedras arbitrariamente alta. Después de terminar de apilar sus piedras de alguna manera, puede realizar movimientos de piedras, definidos de la siguiente manera. Considera cuatro cuadrados cualesquiera de la cuadrícula, que sean esquinas de un rectángulo, es decir, en posiciones $(i, k), (i, l), (j, k), (j, l)$ para algunos $1\leq i, j, k, l\leq n$, tales que $i<j$ y $k<l$. Un movimiento de piedras consiste en quitar una piedra de cada uno de $(i, k)$ y $(j, l)$ y moverlas a $(i, l)$ y $(j, k)$ respectivamente, o quitar una piedra de cada uno de $(i, l)$ y $(j, k)$ y moverlas a $(i, k)$ y $(j, l)$ respectivamente. Dos maneras de apilar las piedras son equivalentes si se pueden obtener una de la otra mediante una secuencia de movimientos de piedras. ¿Cuántas maneras diferentes no equivalentes tiene Steve de apilar las piedras en la cuadrícula?

En el triángulo acutángulo no isósceles ${}{\triangle ABC}$ , $AP$ , $BQ$ , $CR$ son las alturas del triángulo. $A_1$ es el punto medio de $BC$ , $AA_1$ interseca a $QR$ en $K$ , $QR$ interseca a la recta que pasa por ${A}$ y es paralela a $BC$ en el punto ${D}$ , la recta que une el punto medio de $AH$ con ${K}$ interseca a $DA_1$ en $A_2$ . Defina de manera análoga $B_2$ , $C_2$ . Se sabe que ${}\triangle A_2B_2C_2$ es no degenerado, y su circunferencia circunscrita es $\omega$ . Demuestre que: existen círculos $\odot A'$ , $\odot B'$ , $\odot C'$ tangentes a $\omega$ e interiores a ella que satisfacen: (1) $\odot A'$ es tangente a $AB$ y $AC$ , $\odot B'$ es tangente a $BC$ y $BA$ , y $\odot C'$ es tangente a $CA$ y $CB$ . (2) $A'$ , $B'$ , $C$ ' son distintos y colineales. Creado por Sihui Zhang

6 Daniel elige un entero positivo $n$ y se lo dice a Ana. Con esta información, Ana elige un entero positivo $k$ y se lo dice a Daniel. Daniel dibuja $n$ circunferencias en un papel y elige $k$ puntos distintos con la condición de que cada uno de ellos pertenezca a una de las circunferencias que dibujó. Luego borra las circunferencias, y solo quedan visibles los $k$ puntos marcados. A partir de estos puntos, Ana debe reconstruir al menos una de las circunferencias que dibujó Daniel. Determina cuál es el menor valor de $k$ que permite a Ana lograr su objetivo sin importar cómo haya elegido Daniel las $n$ circunferencias y los $k$ puntos.

12 Una sucesión de polinomios $P_m(x, y, z), m = 0, 1, 2, \cdots$ , en $x, y$ y $z$ se define por $P_0(x, y, z) = 1$ y por \[P_m(x, y, z) = (x + z)(y + z)P_{m-1}(x, y, z + 1) - z^2P_{m-1}(x, y, z)\] para $m > 0$ . Demuestre que cada $P_m(x, y, z)$ es simétrico, es decir, no se altera por ninguna permutación de $x, y, z.$ Amir

2 Sea $\mathbb{Z}$ el conjunto de los enteros. Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}$ tales que \[xf(2f(y)-x)+y^2f(2x-f(y))=\frac{f(x)^2}{x}+f(yf(y))\] para todos $x, y \in \mathbb{Z}$ con $x \neq 0$.