4 Lucero y Pablo juegan un juego en el tablero que se muestra en la figura. Lucero juega primero, y se turnan. En cada turno, un jugador elige un círculo sin pintar de la fila inferior y lo pinta de azul, verde o rojo. Esto continúa durante 4 turnos hasta que toda la fila inferior queda pintada. Luego, el resto del tablero se pinta según las siguientes reglas: Si dos círculos adyacentes de una fila son del mismo color, el círculo de arriba adyacente a ellos se pinta de ese mismo color. Si dos círculos adyacentes de una fila son de colores diferentes, el círculo de arriba adyacente a ellos se pinta con el tercer color. Este procedimiento se repite hasta que todos los círculos del tablero quedan pintados. Lucero gana si el único círculo superior queda pintado de rojo o verde, y Pablo gana si queda pintado de azul. Determine quién tiene una estrategia ganadora. [asy] unitsize(1cm); int num_rows = 4; real r = 0.5; // Circle radius real spacing = 1.2; // Spacing factor (1.0 = touching, >1.0 = separated) for (int row = 0; row < num_rows; ++row) { int num_circles = num_rows - row; real y = row * sqrt(3) * r * spacing; for (int i = 0; i < num_circles; ++i) { real x = i * 2 * r * spacing + row * r * spacing; draw(circle((x, y), r)); } } [/asy]

6 Sean $n \ge 2$ y $N = 2^n$ . Sea $A_1, A_2, \dots, A_N$ una permutación (un ordenamiento) de todos los subconjuntos de $X = \{1, 2, \dots, n\}$ . Determine el máximo valor posible de la suma: $S = \sum_{i=1}^{N} |A_i \cap A_{i+1}| \cdot |A_i \cup A_{i+1}|$ donde $A_{N+1} = A_1$ . Nota: $|B|$ denota el número de elementos del conjunto $B$ .

1 Una columna de 9 vehículos del ejército federal se dirige a una maniobra, uno detrás del otro. En la tarde del primer día, cada conductor tiene algo que decir sobre la forma de conducir del conductor que va delante. Deciden cambiar el orden para el día siguiente, de tal manera que cada uno tenga un conductor diferente delante. ¿De cuántas maneras pueden seleccionarse los conductores para el día siguiente?

2 Dos círculos se tocan internamente. En el círculo mayor está inscrito un triángulo equilátero y por sus vértices se trazan las tangentes al círculo menor. Demuestre que la longitud de una de las tres distancias tangentes es igual a la suma de las longitudes de las otras dos.

3 Demuestre la siguiente afirmación: Si un número natural $n$ es mayor que $2$ , entonces la ecuación diofántica $$x^n + (x + 1)^n = (x + 2)^n$$ no posee solución en números naturales.

4 Demuestre que en todo triángulo se cumple: (a) La media armónica de las dos alturas mayores es mayor o igual que la bisectriz más pequeña. (b) La bisectriz más grande es mayor o igual que la media armónica de las dos medianas menores. La igualdad se cumple si y solo si el triángulo es equilátero.

6 Demuestre que las soluciones de la ecuación $$9kx^2(x - 1) + t(9x - 1) = 0$$ donde $k$ y $t$ son números reales, $k$ distinto de cero, no pueden ser todas a la vez positivas, reales y diferentes.

6 Los números reales $a,b,c$ con $a\neq b$ verifican $$a^2(b+c)=b^2(c+a)=2023.$$ Halle el valor numérico de $E=c^2(a+b)$ .

1 Defina las sucesiones $(a_n),(b_n)$ mediante \begin{align*} & a_n, b_n > 0, \forall n\in\mathbb{N_+} \\ & a_{n+1} = a_n - \frac{1}{1+\sum_{i=1}^n\frac{1}{a_i}} \\ & b_{n+1} = b_n + \frac{1}{1+\sum_{i=1}^n\frac{1}{b_i}} \end{align*} 1) Si $a_{100}b_{100} = a_{101}b_{101}$ , halle el valor de $a_1-b_1$ ; 2) Si $a_{100} = b_{99}$ , determine cuál es mayor entre $a_{100}+b_{100}$ y $a_{101}+b_{101}$ .

2 Sea $\triangle ABC$ un triángulo equilátero de lado 1. Sean $D,E,F$ puntos sobre $BC,AC,AB$ respectivamente, tales que $\frac{DE}{20} = \frac{EF}{22} = \frac{FD}{38}$ . Sean $X,Y,Z$ sobre las rectas $BC,CA,AB$ respectivamente, tales que $XY\perp DE, YZ\perp EF, ZX\perp FD$ . Halle todos los valores posibles de $\frac{1}{[DEF]} + \frac{1}{[XYZ]}$ .