Una función $g: \mathbb{Z} \to \mathbb{Z}$ se llama adjetiva si $g(m)+g(n)>max(m^2,n^2)$ para cualquier par de enteros $m$ y $n$ . Sea $f$ una función adjetiva tal que el valor de $f(1)+f(2)+\dots+f(30)$ es mínimo. Halle el menor valor posible de $f(25)$ .

1 Resuelva: $x^2(2-x)^2=1+2(1-x)^2$ donde $x$ es un número real.

2 BdMO National 2018 Higher Secondary P2 $AB$ es un diámetro de un círculo y $AD$ y $BC$ son dos tangentes de ese círculo. $AC$ y $BD$ se intersecan en un punto del círculo. $AD=a$ y $BC=b$. Si $a\neq b$, entonces $AB=?$

3 BdMO National 2018 Higher Secondary P3 Nazia lanza cuatro dados equilibrados de seis caras. No ve los resultados. Su amiga Faria le dice que el producto de los números es $144$. Faria también dice que la suma de los dados, $S$, satisface $14\leq S\leq 18$. Nazia le dice a Faria que $S$ no puede ser uno de los números del conjunto { $14,15,16,17,18$ } si el producto es $144$. ¿Qué número del rango { $14,15,16,17,18$ } es un valor imposible para $S$?

4 Yukihira está calculando el número mínimo de rectas $m$ que pueden trazarse en el plano de modo que se intersequen en exactamente $200$ puntos distintos. ¿Cuál es $m$?

5 Se dibujan cuatro círculos con los lados del cuadrilátero $ABCD$ como diámetros. Los dos círculos que pasan por $A$ se vuelven a encontrar en $E$. Los dos círculos que pasan por $B$ se vuelven a encontrar en $F$. Los dos círculos que pasan por $C$ se vuelven a encontrar en $G$. Los dos círculos que pasan por $D$ se vuelven a encontrar en $H$. Suponga que $ E, F, G,H $ son todos distintos. ¿Es el cuadrilátero $EFGH$ semejante a $ABCD$? Demuéstrelo.

6 Halle todos los pares de enteros $(m,n)$ que satisfacen la igualdad $3(m^2+n^2)-7(m+n)=-4$.

7 Evalúe $\int^{\pi/2}_0 \frac{\cos^4x + \sin x \cos^3 x + \sin^2x\cos^2x + \sin^3x\cos x}{\sin^4x + \cos^4x + 2\ sinx\cos^3x + 2\sin^2x\cos^2x + 2\sin^3x\cos x} dx$.

3 $\triangle ABC$ es isósceles con $AB = AC$. $P$ es un punto interior de $\triangle ABC$ tal que $\angle BCP = 30$ y $\angle APB = 150$ y $\angle CAP = 39$. Halle $\angle BAP$.

2 (a) ¿Cuántos divisores enteros positivos tiene $6000$? (b) ¿Cuántos divisores enteros positivos de $6000$ no son cuadrados perfectos?