7 En el triángulo acutángulo $ABC$ , el punto $F$ es el pie de la altura desde $A$ , y $P$ es un punto del segmento $AF$ . Las rectas que pasan por $P$ paralelas a $AC$ y $AB$ cortan a $BC$ en $D$ y $E$ , respectivamente. Los puntos $X \ne A$ y $Y \ne A$ están en las circunferencias $ABD$ y $ACE$ , respectivamente, tales que $DA = DX$ y $EA = EY$ . Demuestre que $B, C, X,$ y $Y$ son concíclicos. ike.chen

8 Sea $n$ un entero positivo. Comenzamos con $n$ montones de piedras, cada uno conteniendo inicialmente una sola piedra. Se pueden realizar movimientos de la siguiente forma: elegir dos montones, tomar un número igual de piedras de cada montón y formar un nuevo montón con estas piedras. Halle (en términos de $n$ ) el menor número de montones no vacíos que se pueden obtener realizando una sucesión finita de movimientos de esta forma.

g8 Sea $O$ el centro de la circunferencia circunscrita del triángulo acutángulo $ABC$. $AO$ interseca a $BC$ en el punto $D$. Sea $S$ el punto sobre $BO$ tal que $DS \parallel AB$. $AS$ interseca a $BC$ en el punto $T$. Demuestra que los puntos $D,O,S,T$ están en la misma circunferencia si y solo si el triángulo $ABC$ es isósceles con $A$ como vértice.

1 Sean $n$ y $m$ enteros positivos. La niñera de la guardería usa $n \times m$ tapetes cuadrados para construir un área rectangular de $n \times m$ , con un bebé sobre cada tapete. Cada bebé mira inicialmente hacia un lado del rectángulo. Cuando la niñera aplaude, todos los bebés se arrastran un tapete hacia adelante en la dirección hacia la que miran, y luego giran 90 grados en sentido horario. Si un bebé se arrastra fuera del rectángulo, llora. Si dos bebés se arrastran simultáneamente hacia el mismo tapete, chocan entre sí y lloran. Suponga que es posible que la niñera disponga la dirección inicial de cada bebé de modo que, sin importar cuántas veces aplauda, ningún bebé llore. Halle todos los valores posibles de $n$ y $m$ . Propuesto por Chu-Lan Kao

2 Halle todos los enteros positivos $n$ que satisfacen simultáneamente las siguientes condiciones: (a) el número de divisores positivos de $n$ no es múltiplo de $8$ ; (b) para todos los enteros $x$ , se tiene \[x^n \equiv x \mod n.\] Propuesto por usjl

3 Sea $O$ el centro de la circunferencia $\Gamma$ , y sean $A$ , $B$ dos puntos de $\Gamma$ tales que $O, A$ y $B$ no son colineales. Sea $M$ el punto medio de $AB$ . Sean $P$ y $Q$ puntos sobre $OA$ y $OB$ , respectivamente, tales que $P \neq A$ y $P, M, Q$ son colineales. Sea $X$ la intersección de la recta que pasa por $P$ y es paralela a $AB$ con la recta que pasa por $Q$ y es paralela a $OM$ . Sea $Y$ la intersección de la recta que pasa por $X$ y es paralela a $OA$ con la recta que pasa por $B$ y es ortogonal a $OX$ . Demuestre que: si $X$ está en $\Gamma$ , entonces $Y$ también está en $\Gamma$ . Propuesto por usjl

$\mathcal F\subseteq \bigcup_{j=k+1}^{n}X^{(j)}$$|X|=n$$\mathcal F$$H_k$$\sum_{B\in \mathcal F}\frac{1}{\dbinom{n-1}{|B|-1}}\le 1$

4 Sean $n$ y $k$ enteros positivos. Sea $A$ un conjunto de $2n$ puntos distintos en el plano euclidiano tal que no hay tres puntos de $A$ colineales. Algunos pares de puntos de $A$ están unidos con un segmento de modo que hay $n^2 + k$ segmentos distintos en el plano. Demuestre que existen al menos $\frac{4}{3}k^{3/2}$ triángulos distintos en el plano con vértices en $A$ y lados los segmentos mencionados anteriormente. Propuesto por Ho-Chien Chen

5 Sea $m$ un entero positivo, y los números reales $a_1, a_2,\ldots , a_m$ satisfacen \[\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_i = 1,\] \[\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_i ^2= 11,\] \[\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_i ^3= 1,\] \[\frac{1}{m}\sum_{i=1}^{m}a_i ^4= 131.\] Demuestre que $m$ es múltiplo de $7$ . Propuesto por usjl

1 Sea $\mathbb{Q}_{>1}$ el conjunto de los números racionales mayores que $1$ . Sea $f:\mathbb{Q}_{>1}\to \mathbb{Z}$ una función que satisface \[f(q)=\begin{cases} q-3&\textup{ if }q\textup{ is an integer,}\\ \lceil q\rceil-3+f\left(\frac{1}{\lceil q\rceil-q}\right)&\textup{ otherwise.} \end{cases}\] Demuestre que para cualesquiera $a,b\in\mathbb{Q}_{>1}$ con $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1$ , se tiene $f(a)+f(b)=-2$ . Propuesto por usjl