12 Sea $z$ un entero $> 1$ y sea $M$ el conjunto de todos los números de la forma $z_k = 1+z + \cdots+ z^k, \ k = 0, 1,\ldots$ . Determine el conjunto $T$ de los divisores de al menos uno de los números $z_k$ de $M.$ Amir

13 Describa todas las figuras cerradas y acotadas $\Phi$ en el plano cuyos dos puntos cualesquiera se pueden conectar mediante un semicírculo contenido en $\Phi$ . Amir

14 Hay $2^n$ palabras de longitud $n$ sobre el alfabeto $\{0, 1\}$ . Demuestre que el siguiente algoritmo genera la sucesión $w_0, w_1, \ldots, w_{2^n-1}$ de todas estas palabras tal que cualesquiera dos palabras consecutivas difieren exactamente en un dígito. (1) $w_0 = 00 \ldots 0$ ( $n$ ceros). (2) Suponga que $w_{m-1} = a_1a_2 \ldots a_n,\quad a_i \in \{0, 1\}$ . Sea $e(m)$ el exponente de $2$ en la representación de $n$ como producto de primos, y sea $j = 1 + e(m)$ . Reemplace el dígito $a_j$ en la palabra $w_{m-1}$ por $1 - a_j$ . La palabra obtenida es $w_m$ . Amir

15 Sea $n$ un entero mayor que $1$ . En el sistema de coordenadas cartesianas consideramos todos los cuadrados con vértices enteros $(x,y)$ tales que $1\le x,y\le n$ . Denotemos por $p_k\ (k=0,1,2,\ldots )$ el número de pares de puntos que son vértices de exactamente $k$ de tales cuadrados. Demuestre que $\sum_k(k-1)p_k=0$ .

16 Sea $n$ un entero positivo. ¿Cuántas soluciones enteras $(i, j, k, l) , \ 1 \leq i, j, k, l \leq n$ , tiene el siguiente sistema de desigualdades: \[1 \leq -j + k + l \leq n\] \[1 \leq i - k + l \leq n\] \[1 \leq i - j + l \leq n\] \[1 \leq i + j - k \leq n \ ?\] Amir

17 Una esfera $K$ de radio $r$ es tangente exteriormente a esferas mutuamente iguales de radio $R$ . Dos de estas esferas son tangentes entre sí. Además, para dos esferas $K_1$ y $K_2$ tangentes a $K$ y tangentes entre sí, existen otras dos esferas tangentes a $K_1,K_2$ y también a $K$ . ¿Cuántas esferas son tangentes a $K$ ? Para un $r$ dado determine $R$ .

18 Dado un triángulo isósceles $ABC$ con ángulo recto en $C,$ construya el centro $M$ y el radio $r$ de un círculo que corta en los segmentos $AB, BC, CA$ los segmentos $DE, FG,$ y $HK,$ respectivamente, tales que $\angle DME + \angle FMG + \angle HMK = 180^\circ$ y $DE : FG : HK = AB : BC : CA.$ Amir

19 Dado cualquier entero $m>1$ demuestre que existen infinitos enteros positivos $n$ tales que los últimos $m$ dígitos de $5^n$ forman una sucesión $a_m,a_{m-1},\ldots ,a_1=5\ (0\le a_j<10)$ en la que cada dígito, excepto el último, tiene paridad opuesta a la de su sucesor (es decir, si $a_i$ es par, entonces $a_{i-1}$ es impar, y si $a_i$ es impar, entonces $a_{i-1}$ es par).

21 Dado que $x_1+x_2+x_3=y_1+y_2+y_3=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3=0,$ demuestre que: \[ \frac{x_1^2}{x_1^2+x_2^2+x_3^2}+\frac{y_1^2}{y_1^2+y_2^2+y_3^2}=\frac{2}{3}\]

22 Sea $S$ un cuadrilátero convexo $ABCD$ y $O$ un punto interior a él. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a $AB, BC, CD, DA$ son $A_1, B_1, C_1, D_1$ respectivamente. Los pies de las perpendiculares desde $O$ a los lados de $S_i$ , el cuadrilátero $A_iB_iC_iD_i$ , son $A_{i+1}B_{i+1}C_{i+1}D_{i+1}$ , donde $i = 1, 2, 3.$ Demuestre que $S_4$ es semejante a S. Amir