30 Demuestre que si $P(x) = (x-a)^kQ(x)$ , donde $k$ es un entero positivo, $a$ es un número real no nulo, $Q(x)$ es un polinomio no nulo, entonces $P(x)$ tiene al menos $k + 1$ coeficientes no nulos.

29 Sea $I = (0, 1]$ el intervalo unitario de la recta real. Para un número dado $a \in (0, 1)$ definimos una aplicación $T : I \to I$ mediante la fórmula \[ T (x, y) = \begin{cases} x + (1 - a),&\mbox{ if } 0< x \leq a,\\ \text{ } \\ x - a, & \mbox{ if } a < x \leq 1.\end{cases} \] Demuestre que para todo intervalo $J \subset I$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(J) \cap J \neq \emptyset.$ Amir

27 En un plano se dan tres puntos $P,Q,R,$ no alineados. Sean $k, l, m$ números positivos. Construya un triángulo $ABC$ cuyos lados pasen por $P, Q,$ y $R$ de modo que $P$ divida al segmento $AB$ en la razón $1 : k$ , $Q$ divida al segmento $BC$ en la razón $1 : l$ , y $R$ divida al segmento $CA$ en la razón $1 : m.$

32 Considérese el tablero de ajedrez infinito que cubre todo el plano. En cada casilla del tablero hay un número real no negativo. Cada número es la media aritmética de los números en las cuatro casillas adyacentes del tablero. Demuestre que los números que aparecen en las casillas del tablero son todos iguales.

28 Sea $Q$ un cuadrado unitario en el plano: $Q = [0, 1] \times [0, 1]$ . Defínase $T :Q \longrightarrow Q$ como sigue: \[T(x, y) =\begin{cases} (2x, \frac{y}{2}) &\mbox{ if } 0 \le x \le \frac{1}{2};\\(2x - 1, \frac{y}{2}+ \frac{1}{2})&\mbox{ if } \frac{1}{2} < x \le 1.\end{cases}\] Demuestre que para todo disco $D \subset Q$ existe un entero $n > 0$ tal que $T^n(D) \cap D \neq \emptyset.$ Amir

25 Considérese el siguiente sistema con $q=2p$ : \[\begin{matrix} a_{11}x_{1}+\ldots+a_{1q}x_{q}=0,\\ a_{21}x_{1}+\ldots+a_{2q}x_{q}=0,\\ \ldots ,\\ a_{p1}x_{1}+\ldots+a_{pq}x_{q}=0,\\ \end{matrix}\] en el cual todo coeficiente es un elemento del conjunto $\{-1,0,1\}$ $.$ Demuestre que existe una solución $x_{1}, \ldots,x_{q}$ del sistema con las propiedades: a.) todos los $x_{j}, j=1,\ldots,q$ son enteros $;$ b.) existe al menos un j para el cual $x_{j} \neq 0;$ c.) $|x_{j}| \leq q$ para cualquier $j=1, \ldots ,q.$

37 De un tablero cuadrado de $11$ cuadrados de largo y $11$ cuadrados de ancho, se elimina el cuadrado central. Demuestre que los $120$ cuadrados restantes no pueden ser cubiertos por $15$ tiras, cada una de $8$ unidades de largo y una unidad de ancho.

38 Sea $x =\sqrt{a}+\sqrt{b}$ , donde $a$ y $b$ son números naturales, $x$ no es un entero y $x < 1976$ . Demuestre que la parte fraccionaria de $x$ supera a $10^{-19.76}$ .

39 En $ ABC$ , el círculo inscrito es tangente al lado $BC$ en $ X$ . Se traza el segmento $ AX$ . Demuestre que la recta que une el punto medio de $ AX$ con el punto medio del lado $ BC$ pasa por el centro $ I$ del círculo inscrito.

40 Sea $g(x)$ un polinomio fijo con coeficientes reales y defínase $f(x)$ mediante $f(x) =x^2 + xg(x^3)$ . Demuestre que $f(x)$ no es divisible por $x^2 - x + 1$ .