28 Una partícula se mueve de $(0, 0)$ a $(n, n)$ guiada por una moneda equilibrada. Por cada cara se mueve un paso hacia el este y por cada cruz se mueve un paso hacia el norte. En $(n, y), y < n$, permanece allí si sale cara, y en $(x, n), x < n$, permanece allí si sale cruz. Sea $ k$ un entero positivo fijo. Halle la probabilidad de que la partícula necesite exactamente $2n+k$ lanzamientos para llegar a $(n, n).$ Amir

30 Demuestre que un poliedro convexo cuyas caras son todas triángulos equiláteros tiene a lo sumo $30$ aristas. Amir

43 Tres personas $A,B,C$ juegan el siguiente juego: se elige al azar un subconjunto de $k$ - elementos del conjunto $\{1, . . . , 1986\}$, con igual probabilidad para cada elección, donde $k$ es un entero positivo fijo menor o igual que $1986$. El ganador es $A,B$ o $C$, respectivamente, si la suma de los números elegidos deja un resto de $0, 1$ o $2$ al dividirla por $3$. ¿Para qué valores de $k$ este juego es justo? (Un juego es justo si los tres resultados son igualmente probables.) Amir

44 La circunferencia inscrita en un triángulo $ABC$ es tangente a los lados $BC,CA,AB$ en $D,E, F$, respectivamente, y $X, Y,Z$ son los puntos medios de $EF, FD,DE$, respectivamente. Demuestre que los centros de la circunferencia inscrita y de las circunferencias alrededor de $XYZ$ y $ABC$ son colineales. Amir

¿Cuántas cuádruplas de enteros positivos $(a,b,m,n)$ existen tales que se cumplen todas las afirmaciones siguientes? 1. $a,b<5000$ 2. $m,n<22$ 3. $gcd(m,n)=1$ 4. $(a^2+b^2)^m=(ab)^n$

41 Sean $M,N,P$ los puntos medios de los lados $BC, CA, AB$ de un triángulo $ABC$. Las rectas $AM, BN, CP$ intersecan a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $A',B', C'$, respectivamente. Muestre que si $A'B'C'$ es un triángulo equilátero, entonces también lo es $ABC.$ Amir

42 Los enteros $1, 2, \cdots, n^2$ se colocan en las casillas de un tablero de ajedrez $n \times n$ $(n > 2)$ de tal manera que a cualesquiera dos casillas que tengan un lado o un vértice en común se les asignan números que difieren en a lo sumo $n + 1$. ¿Cuál es el número total de tales colocaciones? Amir

40 Halle el valor máximo que puede tener la cantidad $2m+7n$ tal que existen enteros positivos distintos $x_i \ (1 \leq i \leq m), y_j \ (1 \leq j \leq n)$ tales que los $x_i$ son pares, los $y_j$ son impares, y $\sum_{i=1}^{m} x_i +\sum_{j=1}^{n} y_j=1986.$ Amir

39 Sea $S$ un conjunto de $k$ - elementos. (a) Halle el número de aplicaciones $f : S \to S$ tales que \[\text{(i) } f(x) \neq x \text{ for } x \in S, \quad \text{(ii) } f(f(x)) = x \text{ for }x \in S.\] (b) Lo mismo con la condición $\text{(i)}$ omitida. Amir

37 Demuestre que el conjunto $\{1, 2, . . . , 1986\}$ puede descomponerse en $27$ conjuntos disjuntos de modo que ninguno de estos conjuntos contenga una terna aritmética (es decir, tres números distintos en progresión aritmética). Amir