Halle todos los pares $(p,q)$ de números primos tales que $$ p(p^2 - p - 1) = q(2q + 3) .$$

Halle todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que para todos los reales $x,y$ : $$ f(x^2) + xf(y) = f(x) f(x + f(y)) \, . $$

Sea $S$ un conjunto de $N \ge 3$ puntos en el plano. Suponga que no hay $3$ puntos de $S$ colineales. Los segmentos con ambos extremos en $S$ se colorean con dos colores. Demuestre que existe un conjunto de $N - 1$ segmentos del mismo color que no se intersecan salvo en sus extremos, tal que ningún subconjunto de ellos forma un polígono de área positiva.

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circuncentro $O$ . Los puntos $E$ y $F$ se eligen sobre los segmentos $OB$ y $OC$ tales que $BE = OF$ . Si $M$ es el punto medio del arco $EOA$ y $N$ es el punto medio del arco $AOF$ , demuestre que $\sphericalangle ENO + \sphericalangle OMF = 2 \sphericalangle BAC$ .

Sea $p > 10^9$ un número primo tal que $4p + 1$ también es primo. Demuestre que la expansión decimal de $\frac{1}{4p+1}$ contiene todos los dígitos $0,1, \ldots, 9$ .

1 Sean $a,b,c$ reales positivos tales que $a+b+c=3$ . Demuestre la desigualdad \[\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2}\geq \frac{3}{2}.\]

2 En una fiesta había un número finito de personas, algunas de las cuales eran amigas entre sí. Entre cualesquiera $4$ de ellas había o bien $3$ que eran todas amigas entre sí o bien $3$ que no eran amigas entre sí. Demuestre que se puede separar a todas las personas de la fiesta en dos grupos de tal manera que en el primer grupo todos sean amigos entre sí y que todas las personas del segundo grupo no sean amigas de nadie más del segundo grupo. (La amistad es una relación mutua).

3 Se da un triángulo $ABC$ con su baricentro $G$ y su circuncentro $O$ tal que $GO$ es perpendicular a $AG$ . Sea $A'$ la segunda intersección de $AG$ con la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ . Sea $D$ la intersección de las rectas $CA'$ y $AB$ y $E$ la intersección de las rectas $BA'$ y $AC$ . Demuestre que el circuncentro del triángulo $ADE$ está sobre la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ .

4 Definimos la sucesión $x_n$ de modo que \[x_1=a, x_2=b, x_n=\frac{{x_{n-1}}^2+{x_{n-2}}^2}{x_{n-1}+x_{n-2}} \quad \forall n \geq 3.\] Donde $a,b >1$ son números primos relativos. Muestre que $x_n$ no es un entero para $n \geq 3$ .

1 Definimos una sucesión $a_n$ de modo que $a_0=1$ y \[a_{n+1} = \begin{cases} \displaystyle \frac{a_n}2 & \textrm { if } a_n \equiv 0 \pmod 2, \\ a_n + d & \textrm{ otherwise. } \end{cases} \] para todos los enteros positivos $n$ . Halle todos los enteros positivos $d$ tales que existe algún entero positivo $i$ para el cual $a_i=1$ .