2 En un plano coordenado se colocan cuatro fichas, cada una de cuyos centros tiene coordenadas enteras. Se puede desplazar cualquier ficha mediante el vector que une los centros de dos de las otras fichas. Demuestre que cualesquiera dos fichas preseleccionadas pueden hacerse coincidir mediante una sucesión finita de movimientos. Р. Sadykov

3 Halle todos los números naturales $n$ tales que existan enteros primos relativos $x$ e $y$ y un entero $k > 1$ que satisfagan la ecuación $3^n =x^k + y^k$ . A. Kovaldji, V. Senderov

4 Demuestre que si los enteros $a_1$ ; $\dots$ $a_m$ son no nulos y para cada $k =0; 1; \dots ;n$ ( $n < m - 1$ ) , $a_1 + a_22^k + a_33^k + \dots + a_mm^k = 0$ ; entonces la sucesión $a_1, \dots, a_m$ contiene al menos $n+1$ pares de términos consecutivos con signos opuestos. O. Musin

6 En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AC = BC$ ) el punto $O$ es el circuncentro, $I$ el incentro, y $D$ está sobre $BC$ de modo que las rectas $OD$ y $BI$ son perpendiculares. Demuestre que $ID$ y $AC$ son paralelas. M. Sonkin

5 Demuestre que en la progresión aritmética con primer término 1 y razón 729 hay infinitas potencias de 10. L. Kuptsov

6 Tres sargentos y varios soldados sirven en un pelotón. Los sargentos se turnan en el servicio. El comandante ha dado las siguientes órdenes: (a) Cada día debe asignarse al menos una tarea a un soldado. (b) Ningún soldado puede tener más de dos tareas ni recibir más de una tarea en un mismo día. (c) Las listas de soldados que reciben tareas en dos días distintos no deben ser iguales. (d) El primer sargento que viole cualquiera de estas órdenes será encarcelado. ¿Puede al menos uno de los sargentos, sin confabularse con los demás, asignar tareas de acuerdo con estas reglas y evitar ser encarcelado? M. Kulikov

5 En los vértices de un cubo se escriben ocho números naturales distintos dos a dos, y en cada una de sus aristas se escribe el máximo común divisor de los números en los extremos de la arista. ¿Puede la suma de los números escritos en los vértices ser igual a la suma de los números escritos en las aristas? A. Shapovalov

1 Demuestre que todo subconjunto de {1,2,...,99,100} con 55 elementos contiene al menos 2 números con una diferencia de 9.

5 ¿Existen tres números naturales mayores que 1 tales que el cuadrado de cada uno, menos uno, sea divisible por cada uno de los otros? A. Golovanov

6 En el triángulo isósceles $ABC$ ( $AB = BC$ ) se traza la bisectriz $CD$ . La perpendicular a $CD$ que pasa por el centro de la circunferencia circunscrita de $ABC$ interseca a $BC$ en $E$ . La paralela a $CD$ que pasa por $E$ corta a $AB$ en $F$ . Demuestre que $BE$ = $FD$ . M. Sonkin