1 Sea $s(n)$ el número de divisores enteros positivos de $n$ . Halle todos los valores positivos de $k$ que satisfacen $k=s(a)=s(b)=s(2a+3b)$ .

2 Colocamos torres sobre un tablero de ajedrez de $n \cdot n$ que cumple la siguiente condición: Cada dos torres amenazarán al menos una casilla vacía. ¿Cuál es el número máximo de torres?

3 En un triángulo acutángulo $ABC$ cuyo circuncentro se llama $O$ , hay una recta perpendicular a $AO$ que corta a $[AB]$ y $[AC]$ respectivamente en los puntos $D$ y $E$ . Hay un punto llamado $K$ , distinto del punto de intersección de $AO$ y $BC$ , sobre $[BC]$ . La recta $AK$ corta a la circunferencia circunscrita de $ADE$ en $L$ , distinto de $A$ . $M$ es el punto simétrico de $A$ respecto a la recta $DE$ . Demuestre que $K$ , $L$ , $M$ , $O$ son concíclicos.

4 Para todos los números reales positivos $x,y,z$ , halle todos los números reales positivos $c$ que cumplen $$\frac{x^3y+y^3z+z^3x}{x+y+z}+\frac{4c}{xyz}\ge2c+2$$

1 Halle todas las ternas de enteros positivos $(a,b,c)$ para las cuales el número $3^a+3^b+3^c$ es un cuadrado perfecto.

2 En un festival de ajedrez que se celebra en una escuela con $2017$ estudiantes, cada par de estudiantes jugó a lo sumo una partida entre sí. Al final, se observa que para cualquier par de estudiantes que hayan jugado una partida entre sí, al menos uno de ellos ha jugado a lo sumo $22$ partidas. ¿Cuál es el número máximo posible de partidas en este evento?

3 En un cuadrilátero convexo $ABCD$ cuyas diagonales se intersecan en el punto $E$ , se cumplen las igualdades $$\dfrac{|AB|}{|CD|}=\dfrac{|BC|}{|AD|}=\sqrt{\dfrac{|BE|}{|ED|}}$$ . Demuestre que $ABCD$ es un paralelogramo o un cuadrilátero cíclico

4 Si los números reales $a>b>1$ satisfacen la desigualdad $$(ab+1)^2+(a+b)^2\leq 2(a+b)(a^2-ab+b^2+1)$$ ¿cuál es el valor mínimo posible de $\dfrac{\sqrt{a-b}}{b-1}$

2 En una exposición hay $100$ pinturas, cada una de las cuales está hecha con exactamente $k$ colores. Halle el valor mínimo posible de $k$ si cualesquiera $20$ pinturas tienen un color en común, pero no hay ningún color que se use en todas las pinturas.

1 Para una función no constante $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ demuestre que existen números reales $x,y$ que satisfacen $f(x+y)<f(xy)$