1 Sean $x,y,z$ números reales del intervalo $[0,1]$ . Determine el valor máximo de la expresión $$W=y\cdot \sqrt{1-x}+z\cdot\sqrt{1-y}+x\cdot\sqrt{1-z}$$

3 Sea el círculo inscrito del triángulo $\vartriangle ABC$ tangente al lado $BC$ en $M$, al lado $CA$ en $N$ y al lado $AB$ en $P$. Sea $D$ un punto de $\left[ NP \right]$ tal que $\frac{DP}{DN}=\frac{BD}{CD}$. Demuestra que $DM \perp PN$.

3 Demuestre que para cualquier subconjunto $S$ de $\mathbb{R}^2$ , existe un rectángulo (no necesariamente alineado con los ejes) de área $1$ que contiene, en su interior estricto, o bien $0$ o bien más de $2025$ puntos. Ryan Alweiss

5 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Suponga que $D,E,F$ son los pies de las perpendiculares trazadas desde $A,B,C$ a $BC,CA,AB$ . Sean $P,Q,R$ los pies de las perpendiculares trazadas desde $A,B,C$ a $EF,FD,DE$ . Demuestre que \[ 2(PQ+QR+RP)\geq DE+EF+FD \] Nima Ahmadi

Sean $a$, $b$ y $c$ enteros positivos tales que $a^2 + b^2 + 1 = c^2$. Demuestra que $[a/2] + [c/2]$ es par. Nota: $[x]$ es la parte entera de $x$.

. Demuestre que $(x-y)^{5}+(y-z)^{5}+(z-x)^{5}$ es divisible por $5(x-y)(y-z)(z-x)$ , donde $x, y, z$ son enteros distintos por pares. P2. Halle el lugar geométrico de los vértices de las parábolas $y=x^{2}+(2p+1)x+p^{2}-1$ , donde $p$ es un parámetro real. P3. Halle todas las soluciones reales de la ecuación \[x^{2}+2ax+\frac{1}{16}=\sqrt{a^{2}+x-\frac{1}{16}}-a,\] donde $0<a<\frac{1}{4}$ . P4. ¿Existe un poliedro con exactamente $25$ aristas?

5 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$, y sea $L$ el punto medio del arco $BC$ de la circunferencia circunscrita $\omega$ de $\triangle ABC$ que no contiene a $A$. Sea $E$ un punto en $AC$ tal que $2\cdot AE = AB + AC$, y sea la recta $EL$ que intersecta a $\omega$ nuevamente en $P$. Sean $M$ y $N$ los puntos medios de $AB$ y $BC$, respectivamente. Demuestra que las rectas $AL$, $BP$ y $MN$ son concurrentes.

5 Dada la condición de que existen exactamente $1990$ triángulos $ABC$ con lados de longitud entera que satisfacen las siguientes condiciones: (i) $\angle ABC =\frac 12 \angle BAC;$ (ii) $AC = b.$ Encuentra el valor mínimo de $b.$ Amir

1 Si la función real $f(x)=\cos x+\sum_{i=1}^{n}\cos(a_ix)$ es periódica, demuestre que $a_i,i\in\{1,2,...,n\}$ son números racionales.

6 $p$ es un polinomio con coeficientes enteros y para todo número natural $n$ se tiene $p(n)>n$ . $x_k $ es una sucesión tal que: $x_1=1, x_{i+1}=p(x_i)$ y, para todo $N$ , alguno de los $x_i$ es divisible por $N.$ Demuestre que $p(x)=x+1$ Omid