A6 Sea $C$ la clase de todas las funciones reales continuamente diferenciables $f$ en el intervalo $[0,1]$ con $f(0)=0$ y $f(1)=1$. Determina el mayor número real $u$ tal que $$u \leq \int_{0}^{1} |f'(x) -f(x) | \, dx $$ para toda $f$ en $C$.

B1 ¿Para qué números reales $c$ se cumple que $$\frac{e^x +e^{-x} }{2} \leq e^{c x^2 }$$ para todo $x$ real?

B2 Sea $S$ el sólido en el espacio tridimensional formado por todos los puntos $(x,y,z)$ que satisfacen las siguientes seis condiciones simultáneas: $$ x,y,z \geq 0, \;\; x+y+z\leq 11, \;\; 2x+4y+3z \leq 36, \;\; 2x+3z \leq 44.$$ a) Determina el número $V$ de vértices de $S.$ b) Determina el número $E$ de aristas de $S.$ c) Dibuja en el plano $bc$ el conjunto de puntos $(b, c)$ tales que $(2,5,4)$ es uno de los puntos $(x, y, z)$ en los que la función lineal $bx + cy + z$ alcanza su valor máximo sobre $S.$

B3 ¿Para qué números reales $a$ la sucesión $(u_n )$ definida por la condición inicial $u_0 =a$ y la recursión $u_{n+1} =2u_n - n^2$ cumple que $u_n >0$ para todo $n \geq 0?$

B4 Sean $A_1 , A_2 ,\ldots, A_{1066}$ subconjuntos de un conjunto finito $X$ tales que $|A_i | > \frac{1}{2} |X|$ para $1\leq i \leq 1066.$ Demuestra que existen diez elementos $x_1 ,x_2 ,\ldots , x_{10}$ de $X$ tales que cada $A_i $ contiene al menos uno de $x_1 , x_2 ,\ldots, x_{10}.$

B5 Para cada $t \geq 0$ sea $S_t$ el conjunto de todas las funciones reales $f(x)$ no negativas, crecientes, convexas y continuas definidas en el intervalo cerrado $[0,1]$ para las cuales $$f(1) -2 f(2 \slash 3) +f (1 \slash 3) \geq t( f( 2 \slash 3) -2 f(1 \slash 3) +f(0)).$$ Define condiciones necesarias y suficientes sobre $t$ para que $S_t$ sea cerrado bajo multiplicación.

B6 Se define un arreglo infinito de números racionales $G(d, n)$ para enteros $d$ y $n$ con $1\leq d \leq n$ de la siguiente manera: $$G(1, n)= \frac{1}{n}, \;\;\; G(d,n)= \frac{d}{n} \sum_{i=d}^{n} G(d-1, i-1) \; \text{para} \; d>1.$$ Para $1 < d < p$ y $p$ primo, demuestra que $G(d, p)$ se puede expresar como un cociente $s\slash t$ de enteros $s$ y $t$ con $t$ no divisible por $p.$

A1 Encuentra enteros positivos $n$ y $a_1, a_2, \dots, a_n$ tales que $$a_1+a_2+\dots a_n=1979$$ y el producto $a_1a_2\dots a_n$ sea lo más grande posible.

A2 Establece condiciones necesarias y suficientes sobre la constante $k$ para la existencia de una función continua de valor real $f(x)$ que satisfaga $$f(f(x))=kx^9$$ para todo $x$ real.

A3 Sea $x_1,x_2,x_3, \dots$ una sucesión de números reales no nulos que satisface $$x_n=\frac{x_{n-2}x_{n-1}}{2x_{n-2}-x_{n-1}} \text{ para } n=3,4,5, \dots.$$ Establece condiciones necesarias y suficientes sobre $x_1$ y $x_2$ para que $x_n$ sea un entero para infinitos valores de $n.$