3 $O$ es un punto dentro del triángulo $ABC$ tal que $OA=OB+OC$ . Suponga que $B',C'$ son los puntos medios de los arcos $AOC$ y $AOB$ . Demuestre que las circunferencias circunscritas $COC'$ y $BOB'$ son tangentes entre sí. Haga clic para revelar el texto oculto redacción corregida

9 $ I_a$ es el excéntrico del triángulo $ ABC$ con respecto a $ A$ , y $ AI_a$ interseca a la circunferencia circunscrita de $ ABC$ en $ T$ . Sea $ X$ un punto en $ TI_a$ tal que $ XI_a^2=XA.XT$ . Trace una recta perpendicular desde $ X$ a $ BC$ de modo que interseca a $ BC$ en $ A'$ . Defina $ B'$ y $ C'$ de la misma manera. Demuestre que $ AA'$ , $ BB'$ y $ CC'$ son concurrentes. Omid

1 En el triángulo $ABC$ , $M$ es el punto medio de $AC$ , y $D$ es un punto en $BC$ tal que $DB=DM$ . Sabemos que $2BC^{2}-AC^{2}=AB.AC$ . Demuestre que \[BD.DC=\frac{AC^{2}.AB}{2(AB+AC)}\] Omid

12 En el triángulo acutángulo $ ABC$ , $ D$ es la intersección de la altura que pasa por $ A$ con $ BC$ e $ I_a$ es el excéntrico del triángulo con respecto a $ A$ . $ K$ es un punto en la prolongación de $ AB$ desde $ B$ , para el cual $ \angle AKI_a=90^\circ+\frac 34\angle C$ . $ I_aK$ interseca la prolongación de $ AD$ en $ L$ . Demuestre que $ DI_a$ biseca al ángulo $ \angle AI_aB$ si y solo si $ AL=2R$ . ( $ R$ es el circunradio de $ ABC$ ) Omid

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles ( $AB=AC$ ) . Desde $A$ , trazamos una recta $\ell$ paralela a $BC$ . $P,Q$ están sobre las mediatrices de $AB,AC$ tales que $PQ\perp BC$ . $M,N$ son puntos sobre $\ell$ tales que los ángulos $\angle APM$ y $\angle AQN$ son $\frac\pi2$ . Demuestre que \[\frac{1}{AM}+\frac1{AN}\leq\frac2{AB}\] Omid

3 Sea $P$ un punto en un cuadrado cuyos lados son espejos. Un rayo de luz sale de $P$ con pendiente $\alpha$ . Sabemos que este rayo de luz nunca llega a un vértice. Construimos una sucesión infinita de $0,1$ . Después de cada contacto del rayo de luz con un lado horizontal, escribimos $0$ , y después de cada contacto con un lado vertical, escribimos $1$ . Para cada $n\geq 1$ , sea $B_{n}$ el conjunto de todos los bloques de longitud $n$ en esta sucesión. a) Demuestre que $B_{n}$ no depende de la ubicación de $P$ . b) Demuestre que si $\frac{\alpha}{\pi}$ es irracional, entonces $|B_{n}|=n+1$ . Omid

4 Sean $x_1,x_2,\ldots,x_n$ números reales. Demuestre que \[ \sum_{i,j=1}^n |x_i+x_j|\geq n\sum_{i=1}^n |x_i| \] Nima Ahmadi

2 Sea $n$ un número natural fijo. a) Encuentre todas las soluciones de la siguiente ecuación : \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-1 \] b) Encuentre el número de soluciones de la siguiente ecuación ( $m$ es un natural fijo) : \[ \sum_{k=1}^n [\frac x{2^k}]=x-m \] Nima Ahmadi

4 Sea $n$ un número natural fijo. Halle todas las $n$ -tuplas de números naturales distintos dos a dos y coprimos, como $a_1,a_2,\ldots,a_n$ , tales que para $1\leq i\leq n$ se tiene \[ a_1+a_2+\ldots+a_n|a_1^i+a_2^i+\ldots+a_n^i \] Nima Ahmadi

3 Suponga que $ABC$ es un triángulo con $M$ el punto medio de $BC$ . Suponga que $AM$ interseca a la circunferencia inscrita en $K,L$ . Trazamos desde $K$ y $L$ rectas paralelas a $BC$ y llamamos $X$ e $Y$ a sus segundos puntos de intersección con la circunferencia inscrita. Suponga que $AX$ y $AY$ intersecan a $BC$ en $P$ y $Q$ . Demuestre que $BP=CQ$ . Nima Ahmadi