2 Sea $p$ un número primo, $p\geq 5$ . Halle el número de polinomios de la forma \[ x^p + px^k + p x^l + 1, \quad k > l, \quad k, l \in \left\{1,2,\dots,p-1\right\}, \] que son irreducibles en $\mathbb{Z}[X]$ . Valentin Vornicu Valentin

4 Los números reales $a_1,a_2,\dots,a_n$ están dados tales que $|a_i|\leq 1$ para todo $i=1,2,\dots,n$ y $a_1+a_2+\cdots+a_n=0$ . a) Demuestre que existe $k\in\{1,2,\dots,n\}$ tal que \[ |a_1+2a_2+\cdots+ka_k|\leq\frac{2k+1}{4}. \] b) Demuestre que para $n > 2$ la cota anterior es la mejor posible. Radu Gologan, Dan Schwarz Valentin

1 Sea $\{a_n\}_{n\geq 1}$ una sucesión con $a_1=1$ , $a_2=4$ y para todo $n>1$ , \[ a_{n} = \sqrt{ a_{n-1}a_{n+1} + 1 } . \] a) Demuestre que todos los términos de la sucesión son enteros positivos. b) Demuestre que $2a_na_{n+1}+1$ es un cuadrado perfecto para todo entero positivo $n$ . Valentin Vornicu Valentin

2 Sea $ABC$ un triángulo con $\angle B = 30^{\circ }$ . Consideramos los discos cerrados de radio $\frac{AC}3$ , centrados en $A$ , $B$ , $C$ . ¿Existe un triángulo equilátero con un vértice en cada uno de los 3 discos? Radu Gologan, Dan Schwarz Valentin

3 ¿Para qué pares de enteros positivos $(m,n)$ existe un conjunto $A$ tal que para todos los enteros positivos $x,y$ , si $|x-y|=m$ , entonces al menos uno de los números $x,y$ pertenece al conjunto $A$ , y si $|x-y|=n$ , entonces al menos uno de los números $x,y$ no pertenece al conjunto $A$ ? Adaptado por Dan Schwarz de A.M.M. Valentin

4 Sean $x_i$ , $1\leq i\leq n$ números reales. Demuestre que \[ \sum_{1\leq i<j\leq n}|x_i+x_j|\geq\frac{n-2}{2}\sum_{i=1}^n|x_i|. \] Versión discreta por Dan Schwarz de un problema de Putnam Valentin

1 La circunferencia de centro $I$ está inscrita en el cuadrilátero convexo $ABCD$ . Sean $M$ y $N$ puntos sobre los segmentos $AI$ y $CI$ , respectivamente, tales que $\angle MBN = \frac 12 \angle ABC$ . Demuestre que $\angle MDN = \frac 12 \angle ADC$ . Valentin

2 Sea $A$ un punto en el exterior de la circunferencia $\mathcal C$ . Dos rectas que pasan por $A$ intersecan a la circunferencia $\mathcal C$ en los puntos $B$ y $C$ (con $B$ entre $A$ y $C$ ) y respectivamente en $D$ y $E$ (con $D$ entre $A$ y $E$ ) . La paralela por $D$ a $BC$ interseca por segunda vez a la circunferencia $\mathcal C$ en $F$ . Sea $G$ el segundo punto de intersección entre la circunferencia $\mathcal C$ y la recta $AF$ y $M$ el punto en el que se intersecan las rectas $AB$ y $EG$ . Demuestre que \[ \frac 1{AM} = \frac 1{AB} + \frac 1{AC}. \] Valentin

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con $AB \neq AC$ . Sea $D$ el pie de la altura desde $A$ y $\omega$ la circunferencia circunscrita del triángulo. Sea $\omega_1$ la circunferencia tangente a $AD$ , $BD$ y $\omega$ . Sea $\omega_2$ la circunferencia tangente a $AD$ , $CD$ y $\omega$ . Sea $\ell$ la tangente común interior a $\omega_1$ y $\omega_2$ , distinta de $AD$ . Demuestre que $\ell$ pasa por el punto medio de $BC$ si y solo si $2BC = AB + AC$ . Valentin

2 Sean $m$ y $n$ enteros positivos y sea $S$ un subconjunto con $(2^m-1)n+1$ elementos del conjunto $\{1,2,3,\ldots, 2^mn\}$ . Demuestre que $S$ contiene $m+1$ números distintos $a_0,a_1,\ldots, a_m$ tales que $a_{k-1} \mid a_{k}$ para todo $k=1,2,\ldots, m$ . Valentin