En un triángulo $ABC$, sea $D$ el pie de la altura en $A$ y sea $M$ el punto medio de esa altura. Sea $ extit{L}$ la recta que pasa por $D$ y que es paralela a $AC$. La recta $BM$ corta a $AC$ en $P$ y a $ extit{L}$ en $Q$. Sean $R$ y $S$ los pies de las perpendiculares a $BC$ por $P$ y $Q$, respectivamente. Prueba que la suma de las longitudes de $PR$ y $QS$ es igual a la longitud de la altura $AD$.

¿Cuántas listas de 7 números de dos cifras son tales que cada tres términos consecutivos de la lista tienen suma múltiplo de 3? (Nota: En cada lista pueden repetirse números.)

Encontrar una pareja de enteros $(a, b)$ que satisfaga $a > 2$ y $2a^2 = b(b + 2)$.

Encontrar el menor entero positivo tal que la suma de sus cifras es 2001 y el producto de sus cifras es $2^{751}$.

En un pizarrón se encontraba escrito un número de tres dígitos, seguido de $\times$ que denota multiplicación y seguido de otro número de tres dígitos. Si en el pizarrón borramos el símbolo de multiplicación, el número de seis dígitos que queda es justo 3 veces el resultado de la multiplicación original. ¿Cuál es este número de 6 dígitos?

En un examen se pusieron $2n$ problemas de matemáticas. Un jurado revisó los problemas de forma tal que (a) Cada juez revisó exactamente $n$ problemas. (b) Cada problema se revisó por exactamente la misma cantidad de jueces. (c) Cada pareja de jueces revisó exactamente un problema en común. ¿Cuántos problemas tenía el examen si al menos hubo $2$ jueces?

En un triángulo $ABC$ se tiene que $AB = AC = 20$ y $BC = 18$. $D$ es un punto sobre $BC$ tal que $BD<DC$, $E$ es la relejón del punto $C$ sobre la recta $AD$, y las rectas $EB$ y $AD$ se intersectan en $F$. Encontrar el valor de $ AD \times AF$.

Dado un número real positivo $a$, definimos $f(a)$ como el máximo entre $a$ y $1/a$ (por ejemplo, $=7/2$, $f(8/5)=8/5$ y $f(1)=1$). Encontrar todos los valores positivos de $x$ que satisfacen la ecuación $$f(4x) \cdot f(18x)=24x.$$

Sea $ABC$ un triángulo. El punto $D$ sobre $BC$ es tal que $|DC|=|AB|$, $M$ es el punto medio de $BD$ y $X$ es el punto sobre $AC$ tal que $ abla \angle XMD = \frac{1}{2}\nabla \angle ABC$. Probar que $X$ es punto medio de $AC$.

Dada una cuadrícula de $n \times n$ se escriben los números del 1 al $n^2$ en forma espiral de la orilla hacia el centro. Por ejemplo, en el esquema se muestra cómo quedan los números en el caso $n=5$. \begin{array}{ccccc} 1&2&3&4&5 \\ 16&17&18&19&6 \\ 15&24&25&20&7 \\ 14&23&22&21&8 \\ 13&12&11&10&9 \end{array} Se calcula la diferencia entre la suma de los números que aparecen en las dos diagonales. Por ejemplo, en el caso de un cuadrado de $5 \times 5$ la diferencia es $$(13 + 23 + 25 +19 +5) - (1 + 17 + 25 + 21 + 9) = 85 - 73 = 12.$$ ¿Cuántos es diferencia de las sumas de los números en las diagonales en un cuadrado de $2020 \times 2020$?