Queremos llenar una cuadrícula de $3$ renglones y $n$ columnas siguiendo tres reglas: 1) En el primer renglón se ponen los números del $1$ al $n$ en orden creciente. 2) En el segundo renglón también se ponen los números $1, 2, 3,..., n$ empezando en algún cuadrito y continuando hacia la derecha hasta llegar a la columna $n$ y continuando en la columna $1$. 3) En el tercer renglón se pone una permutación de los números del $1$ al $n$. ¿Para qué valores de $n$ se puede llenar la cuadrícula siguiendo las reglas y de manera que la suma de los números en cada columna sea la misma?

En una computadora voy a escribir un número de 125 dígitos usando ceros y unos como sigue: Presiono 1, después 0, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, y así sucesivamente (es decir, cada vez voy intercalando un cero más entre los unos). Cada vez que el número que se ha escrito hasta ese momento es múltiplo de 3, suena un timbre en la computador (por ejemplo, sonará después de la sexta tecla y también después de la séptima). Cuando termine de escribir el número ¿cuántas veces habrá sonado el timbre?

A cada uno de los vértices de un polígono de $2n$ lados se le asigna un número entero de manera que los números asignados a vértices adyacentes difieran en $1$. Llamamos loma a un vértice cuyo número es mayor que los números de sus dos vértices adyacentes. Un valle es un vértice con un número menor que los números adyacentes. Demuestra que la suma de los números de las lomas menos la suma de los números de los valles es igual a $n$.

Encuentra todos los números primos $p$ para los cuales $p^2 + 77$ tiene exactamente $5$ divisores.

Los ángulos de un triángulo $ ABC $ están en progresión aritmética ($ \angle LB = \angle LA + x$ y $\angle LC = \angle LB + x$). $D, E$ y $F$ son, respectivamente, los puntos medios de $BC, CA$ y $AB$. Llamamos $H$ al pie de la altura desde $C$ (que cae entre $B$ y $F$) y $G$ a la intersección de $DH$ y $EF$. ¿Cuánto vale el ángulo $ \angle HGF$?

En una fiesta con $ n $ personas ocurre que cada quien era amigo de exactamente tres personas. ¿Cuáles son los posibles valores de $ n $?

En un torneo hubo 8 competidores $(A, B, C, D, E, F, G ext{ y } H)$. Cada uno jugó exactamente contra otros 3. En cada juego se le dio 2 puntos al ganador, 0 al perdedor y, en caso de empate, se le dio un punto a cada competidor. Si $A$ obtuvo 4 puntos, $B$ obtuvo 2, $C$ obtuvo 3, $D$ obtuvo 1, $E$ obtuvo 6, $F$ obtuvo 1 y $G$ obtuvo 4, ¿cuántos puntos obtuvo $H$?

En la siguiente cuadrícula se tienen escritos los números del 1 al 45 como indica la figura. Un movimiento consiste en elegir dos casillas e intercambiar los números que aparecen en ellas. Describe una forma de lograr con 12 movimientos (o menos) que las 5 sumas de los números que aparecen en cada renglón sean todas iguales.

Un triángulo equilátero $ABC$ de lado 2 tiene gravicentro $G$. Sean $G_1$ el reflejado de $G$ a través de la recta $AC$, $G_2$ el reflejado de $G_1$ a través de la recta $BC$ y $G_3$ el reflejado de $G_2$ a través de la recta $AB$. Encuentra la distancia de $G_3$ a $G$.

Dos círculos $C$ y $D$, con respectivos centros $M$ y $N$, se intersectan en dos puntos distintos. Sea $P$ uno de esos puntos. La recta $MP$ corta por segunda vez al círculo $D$ en $R$ y la recta $NP$ corta por segunda vez al círculo $C$ en $S$. Prueba que $M, S, R ext{ y } N$ son cíclicos.