4 Sean $a$ y $b$ dos enteros positivos. Demuestre que el entero \[a^2+\left\lceil\frac{4a^2}b\right\rceil\] no es un cuadrado. (Aquí $\lceil z\rceil$ denota el menor entero mayor o igual que $z$ . ) Russia

3 Determine todas las funciones $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ con la propiedad de que \[f(x-f(y))=f(f(x))-f(y)-1\] se cumple para todos $x,y\in\mathbb{Z}$ .

$ S$\[ \left\{ \begin{array}{cc} S_0=0\hfill\\ S_1=1\hfill\\ S_n=S_{n-1}+S_{n-2}+F_n& (n>1) \end{array} \right.\]$ F_n$$ F_1=F_2=1$$ S_n$

4 Halle todos los enteros positivos $n>2$ tales que $$ n! \mid \prod_{ p<q\le n, p,q \, \text{primes}} (p+q)$$ Aryan-23

3 Considere un cuadrado $100 \times 100$ que consta de $10^4$ cuadrados unitarios. Llamamos tipo $A$ a las baldosas rectangulares $8 \times 1$ o 1 $\times 8$ que constan de $8$ cuadrados unitarios. Llamamos tipo $B$ a las baldosas rectangulares $4 \times 2$ o $2\times 4$ que constan de $8$ cuadrados unitarios. ¿Es posible cubrir totalmente el cuadrado original usando $N$ baldosas de tipo $A$ y $N$ baldosas de tipo $B$ , para algún entero positivo $N$ ? (suponemos que las baldosas no se superponen y están contenidas dentro del cuadrado original $100 \times 100$ )

3 Halle la mayor constante posible $M$ tal que, para cualquier sucesión $a_n$ , $n=0,1,2,...$ de números reales que satisfaga las condiciones: i) $a_0=1$ , $a_1=3$ ii) $a_0+a_1+...+a_{n-1} \ge 3 a_n - a_{n+1}$ para todo entero $n\ge 1$ , se cumpla que $$\frac{a_{n+1}}{a_n} >M$$ para todo entero $n\ge 0$ .

1 Halle todos los enteros positivos $n\geq1$ tales que exista un par $(a,b)$ de enteros positivos tal que $a^2+b+3$ no sea divisible por el cubo de ningún primo, y $$n=\frac{ab+3b+8}{a^2+b+3}.$$

1 Dado un triángulo equilátero de lado $k$ cm. Con rectas paralelas a sus lados, lo dividimos en $k^2$ triángulos equiláteros pequeños de lado $1$ cm. De esta manera se crea una cuadrícula triangular. En cada triángulo pequeño de lado $1$ cm colocamos exactamente un entero de $1$ a $k^2$ (inclusive), de modo que no haya dos triángulos con el mismo número. Con vértices en los puntos de la cuadrícula se definen hexágonos regulares de lados de $1$ cm. Llamaremos valor del hexágono a la suma de los números que están en los $6$ triángulos equiláteros pequeños que constituyen el hexágono. Halle (en términos del entero $k>4$ ) el valor máximo y el valor mínimo de la suma de los valores de todos los hexágonos .

2 Sea un triángulo $ABC$ inscrito en una circunferencia $\Gamma$ con centro $O$ . Sea $I$ el incentro del triángulo $ABC$ y $D, E, F$ los puntos de contacto de la circunferencia inscrita con los lados $BC, AC, AB$ del triángulo $ABC$ , respectivamente. Sea también $S$ el pie de la perpendicular trazada desde $D$ a la recta $EF$ . Demuestre que la recta $SI$ pasa por el punto antidiámetrico $N$ de $A$ en la circunferencia $\Gamma$ . ( $AN$ es un diámetro de la circunferencia $\Gamma$ ) .

3 Sea $n>1$ un entero positivo. Cada celda de una tabla $n\times n$ contiene un entero. Suponga que se cumplen las siguientes condiciones: cada número de la tabla es congruente con $1$ módulo $n$ . La suma de los números de cualquier fila, así como la suma de los números de cualquier columna, es congruente con $n$ módulo $n^2$ . Sea $R_i$ el producto de los números de la fila $i^{\text{th}}$ , y $C_j$ el producto de los números de la columna $j^{\text{th}}$ . Demuestre que las sumas $R_1+\hdots R_n$ y $C_1+\hdots C_n$ son congruentes módulo $n^4$ .