38 Sea $\,S\,$ un conjunto finito de puntos en el espacio tridimensional. Sean $\,S_{x},\,S_{y},\,S_{z}\,$ los conjuntos formados por las proyecciones ortogonales de los puntos de $\,S\,$ sobre el plano $yz$ , el plano $zx$ y el plano $xy$ , respectivamente. Demuestre que \[ \vert S\vert^{2}\leq \vert S_{x} \vert \cdot \vert S_{y} \vert \cdot \vert S_{z} \vert, \] donde $\vert A \vert$ denota el número de elementos del conjunto finito $A$ . Nota: La proyección ortogonal de un punto sobre un plano es el pie de la perpendicular trazada desde ese punto al plano.

39 Sea $n \geq 2$ un entero. Halle el mínimo $k$ para el cual existe una partición de $\{1, 2, . . . , k\}$ en $n$ subconjuntos $X_1,X_2, \cdots , X_n$ tal que se cumpla la siguiente condición: para cualesquiera $i, j, 1 \leq i < j \leq n$ , existen $x_i \in X_1, x_j \in X_2$ tales que $|x_i - x_j | = 1.$ Amir

40 Los colonizadores de un planeta esférico han decidido construir $N$ ciudades, cada una con un área igual a $1/1000$ del área total del planeta. También decidieron que cualesquiera dos puntos pertenecientes a ciudades distintas tendrán latitud distinta y longitud distinta. ¿Cuál es el valor máximo de $N$ ? Amir

41 Sea $S$ un conjunto de enteros positivos $n_1, n_2, \cdots, n_6$ y sea $n(f)$ el número $n_1n_{f(1)} +n_2n_{f(2)} +\cdots+n_6n_{f(6)}$ , donde $f$ es una permutación de $\{1, 2, . . . , 6\}$ . Sea \[\Omega=\{n(f) | f \text{ is a permutation of } \{1, 2, . . . , 6\} \} \] Dé un ejemplo de enteros positivos $n_1, \cdots, n_6$ tales que $\Omega$ contenga tantos elementos como sea posible y determine el número de elementos de $\Omega$ . Amir

42 En un triángulo $ ABC,$ sean $ D$ y $ E$ las intersecciones de las bisectrices de $ \angle ABC$ y $ \angle ACB$ con los lados $ AC,AB,$ respectivamente. Determine los ángulos $ \angle A,\angle B, \angle C$ si $ \angle BDE = 24 ^{\circ},$ $ \angle CED = 18 ^{\circ}.$

43 Halle el número de enteros positivos $n$ que satisfacen $\phi(n) | n$ y tales que \[\sum_{m=1}^{\infty} \left( \left[ \frac nm \right] - \left[\frac{n-1}{m} \right] \right) = 1992\] ¿Cuál es el mayor de ellos? Como es usual, $\phi(n)$ es el número de enteros positivos menores o iguales que $n$ y relativamente primos con $n.$ Amir

44 Demuestre que $\frac{5^{125}-1}{5^{25}-1}$ es un número compuesto.

46 Demuestre que la sucesión $5, 12, 19, 26, 33,\cdots $ no contiene ningún término de la forma $2^n -1.$ Amir

48 Halle todas las funciones $f : \mathbb R^+ \to \mathbb R$ que satisfacen la identidad \[f(x)f(y)=y^{\alpha}f\left(\frac x2 \right) + x^{\beta} f\left(\frac y2 \right) \qquad \forall x,y \in \mathbb R^+\] donde $\alpha,\beta$ son números reales dados. Amir

45 Sea $n$ un entero positivo. Demuestre que el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos distintos (sin importar el orden) y el número de maneras de expresar $n$ como suma de enteros positivos impares (sin importar el orden) son iguales. Amir