¿Para qué enteros positivos $n$, se tiene que el mayor entero menor o igual que $\frac{n^2}{3}$ es un número primo?

Alrededor de una mesa redonda se encuentran sentadas $n$ personas, a quienes se les reparten $2n$ tarjetas (numeradas del $1$ al $2n$) de manera que una persona tiene las tarjetas $(1,2)$, la persona a su derecha las tarjetas $(3,4)$, a la derecha quedan $(5,6)$, etc. De manera simultánea, cada persona toma la tarjeta con el número menor (de las dos que tiene) y la pasa a quien esté sentado a su derecha. Este paso se repite una infinidad de veces.\\n(a) Demuestre que a partir de cierto momento, hay $n$ tarjetas que ya no se mueven.\\n(b) ¿Cuántos pasos son necesarios para alcanzar el momento mencionado en el inciso (a)?

En la figura, $ABCD$ es un cuadrado y $M$ el punto medio de $AB$. La circunferencia con centro en $O$ y radio $r$ es tangente a $AD$, $AM$ y $MC$. La circunferencia con centro $P$ y radio $R$ es tangente a $AD$, $DC$, $MC$ [image]\nDemuestre que $R = 2 \left(\frac{r}{r+1}\right)$

Una sucesión de números $a_0, a_1, a_2, \\ldots$ se construye como sigue: $a_0$ es un número entero positivo cualquiera menor o igual que 200 y, para $n \\geq 1$, $a_n = 5a_{n-1} - 2$ (es decir, cada término de la sucesión se obtiene restándole $2$ al resultado de multiplicar el término anterior por $5$). Determina (con demostración) cuáles de los siguientes pueden ser términos de la sucesión: 1000, 2003 y 6938.

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $(n, p)$ tales que $p$ es primo y $p^n - 9n = p^p$.

Sean $A$ y $B$ dos puntos fijoses en el plano y sea $L$ una recta que pasa por $A$ pero no por $B$. Para $P$ y $Q$ puntos de $L$ (distintos de $A$) Sean $OP$ y $OQ$ los centros de las circunferencias circunscritas a $APB$ y $AQB$, respectivamente. Muestra que los ángulos $\angle OPB$ y $\angle OQB$ son iguales.

En cierto juego hay varios montones de piedras que pueden modificarse de acuerdo a las siguientes $2$ reglas:\\n(1) Se pueden juntar dos de los montones en uno solo.\\n(2) Si un montón tiene un número par de piedras, se puede partir en dos montones con el mismo número de piedras cada uno.\\nAl principio hay tres montones, uno de ellos tiene $5$ piedras, otro tiene $49$ y el otro tiene $51$. Determinar si es posible lograr, con movimientos sucesivos, y siguiendo las reglas (1) y (2), que al final haya $105$ montones, cada uno con una piedra.

Aquiles y la tortuga se encuentran en las esquinas opuestas de un tablero de ajedrez de $5 \times 5$. Entre ellos se desarrolla un juego con las siguientes reglas:\\n(i) Cada uno puede moverse de una casilla a otra casilla adyacente (en diagonal no) y en cada jugada, Aquiles hace $3$ movimientos consecutivos y la tortuga dos movimientos. Por ejemplo, la tortuga puede moverse a una casilla y regresar, finalizando su jugada donde la empezó.\\n(ii) Gana aquel que al final de su jugada llegue justo a la casilla que ocupa su adversario.\\nSi la tortuga hace la primera jugada y ambos juegan inteligentemente, ¿quién puede asegurar la victoria?

Considera un cuadrilátero cíclico $ABCD$. La prolongación de $DA$ más allá de $A$ se corta con la prolongación de $BC$ en un punto $P$ y las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $Q$. Se cumple que $DQ = DC = CP$. Demuestre que $\angle DAC = 60^\circ$.

¿Existe algún $n$ para el cual $n!$ sea divisible por $3^{1000}$ pero no por $3^{1012}$?