1 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ . Sean $A_1,B_1$ y $C_1$ respectivamente los puntos medios de los arcos $BAC,CBA$ y $ACB$ de $\Gamma$ . Demuestre que el inradio del triángulo $A_1B_1C_1$ no es menor que el inradio del triángulo $ABC$ .

2 Halle todas las funciones $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ tales que $$f\left(x^3+f(y)\right)=x^2f(x)+y,$$ para todo $x,y\in\mathbb{R}.$ (Aquí $\mathbb{R}$ denota el conjunto de todos los números reales.)

3 Sea $G$ un grafo simple sobre el conjunto infinito de vértices $V=\{v_1, v_2, v_3,\ldots\}$ . Suponga que todo subgrafo de $G$ sobre un subconjunto finito de vértices es $10$ - coloreable. Demuestre que el propio $G$ es $10$ - coloreable.

3 Sea $\mathbb N$ el conjunto de todos los números naturales. Demuestre que existen dos subconjuntos no vacíos $A$ y $B$ de $\mathbb N$ tales que $A\cap B=\{1\};$ todo número de $\mathbb N$ puede expresarse como el producto de un número de $A$ y un número de $B$ ; cada número primo es divisor de algún número de $A$ y también de algún número de $B$ ; uno de los conjuntos $A$ y $B$ tiene la siguiente propiedad: si los números de este conjunto se escriben como $x_1<x_2<x_3<\cdots$ , entonces para cualquier entero positivo $M$ dado existe $k\in \mathbb N$ tal que $x_{k+1}-x_k\ge M$ . Cada conjunto tiene infinitos números compuestos.

1 Halle todos los enteros positivos $a,b$ tales que $\frac{a^2+b}{b^2-a}$ y $\frac{b^2+a}{a^2-b}$ son también enteros.

2 Un número de $10$ - dígitos se llama número $\textit{cute}$ si sus dígitos pertenecen al conjunto $\{1,2,3\}$ y la diferencia de cada par de dígitos consecutivos es $1$ . a) Halle el número total de números cute. b) Demuestre que la suma de todos los números cute es divisible por $1408$ .

3 Demuestre que para cualquier triángulo $ABC$ , se cumple la desigualdad $\displaystyle\sum_{\text{cyclic}}\cos A\le\sum_{\text{cyclic}}\sin (A/2)$ .

1 Sea $ABC$ un triángulo en el cual $CA>BC>AB$ . Sea $H$ su ortocentro y $O$ su circuncentro. Sean $D$ y $E$ respectivamente los puntos medios del arco $AB$ que no contiene a $C$ y del arco $AC$ que no contiene a $B$ . Sean $D'$ y $E'$ respectivamente las reflexiones de $D$ respecto a $AB$ y de $E$ respecto a $AC$ . Demuestre que $O, H, D', E'$ se encuentran sobre una circunferencia si y solo si $A, D', E'$ son colineales.

2 Para un número compuesto $n$ , sea $d_n$ su mayor divisor propio. Demuestre que hay infinitos $n$ para los cuales $d_n +d_{n+1}$ es un cuadrado perfecto.

3 Cada casilla de un tablero $3\times 3$ se colorea de rojo o de azul. Halle el número de todas las coloraciones en las que no hay cuadrados $2\times 2$ cuyas casillas sean todas rojas.