¿Cuántos caminos diferentes hay para ir desde el punto $X$ de la figura a cualquiera de los puntos $A$, $B$, $C$, $D$ o $E$, moviéndose siempre sobre las líneas de la figura verticalmente hacia abajo o en diagonal hacia abajo a la izquierda? [image]

En los triangulitos en blanco de la figura deben escribirse, sin repetir, los números del $1$ al $6$, de tal forma que la suma de los números que queden en los $3$ triángulos que tienen una base en $PQ$ sea igual a la de los tres triángulos que tienen una base en $PR$ y también a la de los $3$ triángulos que tienen una base en $QR$. ¿De cuántas maneras distintas es posible hacer esto? [image]

En la siguiente figura los tres ángulos en $A$ son iguales; las longitudes $AP$ y $AQ$ son iguales; $PB$ es perpendicular a $AB$ y también $AC$ y $QC$ son perpendiculares; $PQR$ es equilátero. Determina cómo debe ser el ángulo $ riangle BAC$ para que el punto de intersección de las rectas $BP$ y $QC$ sea el centro de $PQR$? [image]

Dado un número entero $n$ de tres cifras con la cifra de las decenas menor que $7$, llamemos $f(n)$ al número que se obtiene al sumar $3$ a la cifra de las decenas, y después escribir las cifras en orden inverso. (Por ejemplo, $f(618)=846$.) Encuentra todos los números $n$ tales que $f(n)=4n$.

Sean $C$ y $C'$ dos círculos con centros en $O$ y $O'$, respectivamente, y tales que se intersecan en dos puntos distintos $P$ y $Q$. Sea $L$ una recta por $P$ que intersecta a $C$ y $C'$ en dos puntos $B$ y $B'$, respectivamente. Sea $A$ el circuncentro de $BB'Q$. Probar que $A$ está en el circuncírculo de $O$, $O'$ y $Q$.

Dado un subconjunto $A$ de $\{1, 2, \ldots, n\}$, llamamos suma de $A$ a la suma de los elementos de $A$ (por ejemplo, si $A = \{1, 4, 8\}$, entonces la suma de $A$ es 13 y si $A = \{9\}$, entonces su suma es 9). El conjunto $\{1, 2, \ldots, n\}$ quiere partirse en 12 subconjuntos (ajenos y no vacíos) con la misma suma. Hallar el menor $n$ para el cual esto es posible.

En un tablero cuadriculado de madera de $n \times n$ un mago toca con su varita mágica uno de los cuadritos y, al tocarlo, desaparece toda la fila y columna del cuadrito; quedan varios tableros rectangulares a los que les aplica el mismo acto mágico, es decir, toca un cuadrito de alguno de los rectángulos y elimina su fila y su columna (sólo en el rectángulo donde está el cuadrito que tocó). El acto de magia se repite varias veces hasta que todos los cuadritos han desaparecido. El mago quiere hacer el procedimiento el mínimo número posible de veces; ¿cuál es este número y cómo debe ir tocando los cuadritos?

Ocho cajas numeradas del 1 al 8 están colocadas en una fila en orden de numeración. ¿De cuántas formas distintas pueden colocarse 8 esferas de Navidad en las cajas si de cada uno de 4 colores distintos hay dos esferas iguales, en cada caja va una esfera y esferas del mismo color no deben quedar en cajas con numeración consecutiva?

Sea $ABCD$ un tetraedro en el que $|AB| = |CD|$, $|AC| = |BD|$ y $|AD| = |BC|$ y sean $P_1, P_2, Q_1, Q_2, R_1$ y $R_2$ los puntos medios de $AB$, $CD$, $AC$, $BD$, $AD$ y $BC$, respectivamente. Probar que (a) $P_1P_2$ es ortogonal a $AB$. (b) $P_1P_2$, $Q_1Q_2$ y $R_1R_2$ concurren y son ortogonales entre sí.

Sea $a_1, a_2, \ldots$ la sucesión definida por $a_1 = 1$ y, para $n \geq 2$, $$ a_n = (n-1)a_{n-1} + \cdots + ka_k + \cdots + 1a_1 + n. $$ ¿Para qué $n$'s es $a_n$ múltiplo de 9?