11 Sean $w_1, w_2, \dots, w_n$ números complejos. Una recta $L$ en el plano complejo se llama recta media para los puntos $w_1, w_2, \dots, w_n$ si $L$ contiene puntos (números complejos) $z_1, z_2, \dots, z_n$ tales que \[ \sum_{k = 1}^n (z_k - w_k) = 0. \] Para los números $w_1 = 32 + 170i$ , $w_2 = -7 + 64i$ , $w_3 = -9 +200i$ , $w_4 = 1 + 27i$ , y $w_5 = -14 + 43i$ , existe una única recta media con intersección con el eje $y$ igual a 3. Encuentra la pendiente de esta recta media.

1 Tenemos $ n \geq 2$ lámparas $ L_{1}, . . . ,L_{n}$ en una fila, cada una de ellas encendida o apagada. Cada segundo modificamos simultáneamente el estado de cada lámpara de la siguiente manera: si la lámpara $ L_{i}$ y sus vecinas (solo una vecina para $ i = 1$ o $ i = n$ , dos vecinas para los demás $ i$ ) están en el mismo estado, entonces $ L_{i}$ se apaga; – en caso contrario, $ L_{i}$ se enciende. Inicialmente todas las lámparas están apagadas excepto la más a la izquierda, que está encendida. $ (a)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales todas las lámparas terminarán apagadas. $ (b)$ Demuestre que hay infinitos enteros $ n$ para los cuales las lámparas nunca estarán todas apagadas.

$P(x,y)$$x$$y$$Q(x,y)$$P(x,y)$$P(x,y)=3x^4y-2x^2y^3+5xy^2+x-5$$Q(x,y)=3x^4y-2x^2y^3$$x_1$$y_1$$x_2$$y_2$$Q(x_1,y_1)>0$$Q(x_2,y_2)<0$$\{(x,y)|P(x,y)=0\}$$S$$M$$S$$M$

Para determinar $\frac{1}{A}$ con $A>0$, se puede usar la iteración $X_{k+1}=X_{k}(2-AX_{k}),$ donde $X_0$ es un valor inicial seleccionado. Encuentra la limitación, si existe, sobre el valor inicial $X_0$ para que la iteración anterior converja a $\frac{1}{A}.$

9.8 Dado un hexágono regular $H$ de lado $1$ . Sobre los lados de $H$ se eligen puntos $A_1$ , $A_2$ , $\ldots$ , $A_k$ tales que al menos uno de ellos es el punto medio de algún lado y, para todo $1 \leq i \leq k$ , las rectas $A_{i-1}A_i$ y $A_iA_{i+1}$ forman ángulos iguales con el lado que contiene al punto $A_i$ (sea $A_0=A_k$ y $A_{k+1}=A_1$ ). Se sabe que la longitud de la línea quebrada $A_1A_2\ldots A_kA_1$ es un entero positivo. Demuestre que $n$ es divisible por $3$ . M. Zorka

3 Sea $ABC$ un triángulo con $AB < AC$ e incentro $I$. Sea $E$ el punto sobre el lado $AC$ tal que $AE = AB$. Sea $G$ el punto sobre la recta $EI$ tal que $\angle IBG = \angle CBA$ y tal que $E$ y $G$ están en lados opuestos de $I$. Demuestra que la recta $AI$, la recta perpendicular a $AE$ en $E$, y la bisectriz del ángulo $\angle BGI$ son concurrentes.

2 Consideramos disecciones de $n$ - gons regulares en $n - 2$ triángulos mediante $n - 3$ diagonales que no se intersecan dentro del $n$ - gon. Una triangulación bicolorada es tal disección de un $n$ - gon en la cual cada triángulo está coloreado de negro o blanco y cualesquiera dos triángulos que comparten una arista tienen colores distintos. Llamamos a un entero positivo $n \ge 4$ triangulable si todo $n$ - gon regular tiene una triangulación bicolorada tal que para cada vértice $A$ del $n$ - gon el número de triángulos negros de los cuales $A$ es un vértice es mayor que el número de triángulos blancos de los cuales $A$ es un vértice. Encuentra todos los números triangulables.

Para enteros \(n \ge k \ge 0\) definimos el coeficiente bibinomial \(\left( \binom{n}{k} \right)\) mediante \[ \left( \binom{n}{k} \right) = \frac{n!!}{k!!(n-k)!!} .\] Determina todos los pares \((n,k)\) de enteros con \(n \ge k \ge 0\) tales que el coeficiente bibinomial correspondiente sea un entero. Observación: El doble factorial \(n!!\) se define como el producto de todos los enteros positivos pares hasta \(n\) si \(n\) es par, y el producto de todos los enteros positivos impares hasta \(n\) si \(n\) es impar. Así, por ejemplo, \(0!! = 1\), \(4!! = 2 \cdot 4 = 8\), y \(7!! = 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 105\).

$a$$b$$c$$(2a+1)\times (2b+1)\times (2c+1)$

El octágono $ABCDEFGH$ con longitudes de lado $AB = CD = EF = GH = 10$ y $BC = DE = FG = HA = 11$ se forma al quitar cuatro triángulos $6-8-10$ de las esquinas de un rectángulo de $23\times 27$ con el lado $\overline{AH}$ sobre un lado corto del rectángulo, como se muestra. Sea $J$ el punto medio de $\overline{HA}$, y divide el octágono en $7$ triángulos trazando los segmentos $\overline{JB}$, $\overline{JC}$, $\overline{JD}$, $\overline{JE}$, $\overline{JF}$ y $\overline{JG}$. Encuentra el área del polígono convexo cuyos vértices son los centroides de estos $7$ triángulos. [asy] unitsize(6); pair P = (0, 0), Q = (0, 23), R = (27, 23), SS = (27, 0); pair A = (0, 6), B = (8, 0), C = (19, 0), D = (27, 6), EE = (27, 17), F = (19, 23), G = (8, 23), J = (0, 23/2), H = (0, 17); draw(P--Q--R--SS--cycle); draw(J--B); draw(J--C); draw(J--D); draw(J--EE); draw(J--F); draw(J--G); draw(A--B); draw(H--G); real dark = 0.6; filldraw(A--B--P--cycle, gray(dark)); filldraw(H--G--Q--cycle, gray(dark)); filldraw(F--EE--R--cycle, gray(dark)); filldraw(D--C--SS--cycle, gray(dark)); dot(A); dot(B); dot(C); dot(D); dot(EE); dot(F); dot(G); dot(H); dot(J); dot(H); defaultpen(fontsize(10pt)); real r = 1.3; label("$A$", A, W*r); label("$B$", B, S*r); label("$C$", C, S*r); label("$D$", D, E*r); label("$E$", EE, E*r); label("$F$", F, N*r); label("$G$", G, N*r); label("$H$", H, W*r); label("$J$", J, W*r); [/asy]