1. Sean $a$ , $b$ , $c$ números reales distintos de 0 para los cuales se cumple $ab$ + $bc$ + $ca$ = 0 . a) Demuestre que ( $a$ + $b$ ) ( $b$ + $c$ ) ( $c$ + $a$ ) ≠ 0 . b) Sean $X$ = $a$ + $b$ + $c$ e $Y$ = $\frac{1}{a+b}$ + $\frac{1}{b+c}$ + $\frac{1}{c+a}$ . Demuestre que los números $X$ e $Y$ son ambos positivos o ambos negativos.

Sean a, b, c números reales tales que $a + b + c = 0$ y $abc = -16$ . Halle el valor mínimo de la expresión \[ W = \frac{a^2 + b^2}{c} + \frac{b^2 + c^2}{a} + \frac{c^2 + a^2}{b}. \]

Sean \( m \) y \( n \) números naturales, y sea \( p \) un primo tal que \( m < n < p \) , y: \[ p \mid m^2 + 1 \quad \text{and} \quad p \mid n^2 + 1. \] Demuestre que: \[ p \mid mn - 1. \]

1 Determine todos los números reales $a, b, c, d$ para los cuales $$ab + c + d = 3$$ $$bc + d + a = 5$$ $$cd + a + b = 2$$ $$da + b + c = 6$$

1 Sobre la circunferencia $k$ hay puntos $A$ , $B$ , $C$ , $D$ y $E$ en sentido horario tales que $\angle ABE = \angle BEC = \angle ECD = 45^{\circ}$ . Demuestre que $AB^2 + CE^2 = BE^2 + CD^2$

2 Sean $p, q, r$ números primos y $t, n$ números naturales tales que $p^2 +qt =(p + t)^n$ y $p^2 + qr = t^4$ . a) Muestre que $n < 3$ . b) Determine todos los números $p, q, r, t, n$ que satisfacen las condiciones dadas.

1. Determine todos los números reales $a, b, c, d$ para los cuales $ab+cd=6$ , $ac+bd=3$ , $ad+bc=2$ , $a+b+c+d=6$

3. Sea ABC un triángulo acutángulo con incentro $I$ . La circunferencia inscrita toca los lados $AC$ y $AB$ en $E$ y $F$ , respectivamente. Las rectas CI y EF se intersecan en $S$ . El punto $T$ ≠ $I$ está sobre la recta AI de modo que $EI$ = $ET$ . Si $K$ es el pie de la altura desde $C$ en el triángulo $ABC$ , demuestre que los puntos $K$ , $S$ y $T$ son colineales.

2. Determine todos los enteros no negativos $x$ e $y$ tales que $6^x$ + $2^y$ + 2 es un cuadrado perfecto.

3 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo. Las tangentes a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en los puntos $B$ y $C$ se intersecan en el punto $T$ . Sean $D$ y $E$ los pies de las alturas desde $T$ sobre $AB$ y $AC$ , y sea $M$ el punto medio de $BC$ . Demuestre: A) Demuestre que $M$ es el ortocentro del triángulo $ADE$ . B) Demuestre que $TM$ corta a $DE$ por la mitad.