5 Sea $f(n)=\left|\binom{n}{0}+\binom{n}{3}+\dots +\binom{n}{3[\frac{n}{3}]}-\frac{2^n}{3}\right|,$ donde $[x]$ es el mayor entero que no excede a $x.$ Halle $$f(1)+f(2)+\dots+f(2021).$$

4 Sea $ABCD$ un cuadrilátero cíclico con circuncentro $O.$ Las diagonales $AC$ y $BD$ se cortan en $E.$ $F$ y $G$ son puntos de los segmentos $AB$ y $CD$ , respectivamente. Suponga que $AF=15,$ $FB=13,$ $BE=30,$ $ED=13,$ $DG=7.5,$ y $GC=6.5.$ Sea $P$ un punto tal que $PF\perp AB$ y $PG\perp CD.$ Halle $\frac{PE}{PO}.$

6 Hay un conjunto de $n$ $01$ - sucesiones de longitud $200.$ Cada par de $01$ - sucesiones difiere en al menos $101$ posiciones. (Por ejemplo, las dos $01$ - sucesiones de longitud $6,$ $111100$ y $010001$ difieren en cuatro posiciones: las posiciones $1$ s t, $3$ r d, $4$ t h y $6$ t h, contando desde la izquierda.) ¿Es posible que $n \geq 101?

2 Sea $P(x)$ un polinomio con coeficientes enteros. Defínase una sucesión ${a_n}$ mediante $a_0 = 0$ y $a_{n} = P(a_{n-1})$ para todo $n \geq 1.$ Demuestre que si existe un entero positivo $m$ para el cual $a_m = 0,$ entonces $a_1 = 0$ o $a_2 = 0.$

4 ¿Existe un polinomio no nulo $P(x)$ con coeficientes enteros que satisfaga las dos condiciones siguientes? $P(x)$ no tiene raíces racionales; Para todo entero positivo $n$ , existe un entero $m$ tal que $n$ divide a $P(m)$ .

1 Halle todas las funciones $f:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ tales que para todo entero positivo $n$ se cumple lo siguiente: Si $d_1,d_2,\ldots,d_s$ son todos los divisores positivos de $n$ , entonces $$f(d_1)f(d_2)\ldots f(d_s)=n.$$

1 Halle todos los enteros positivos $n$ tales que $n^2+32n+8$ es un cuadrado perfecto.

3 Sea $\triangle ABC$ un triángulo acutángulo con circunferencia circunscrita $\Gamma$ , y sea $P$ el punto medio del arco menor $BC$ de $\Gamma$ . Sean $AP$ y $BC$ cortándose en $D$ , y sea $M$ el punto medio de $AB$ . Además, sea $E$ el punto tal que $AE\perp AB$ y $BE\perp MP$ . Demuestre que $AE=DE$ .

5 Sea $ABCD$ un trapecio isósceles con bases $BC$ y $AD$ . Suponga que $\angle BDC=10^{\circ}$ y $\angle BDA=70^{\circ}$ . Demuestre que $AD^2=BC(AD+AB)$ .

3 Sobre la mesa hay $20$ monedas de pesos $1,2,3,\ldots,15,37,38,39,40$ y $41$ gramos. Todas tienen la misma apariencia pero sus colores son todos distintos. La señorita Adams sabe el peso y el color de cada moneda, pero el señor Bean solo conoce los pesos de las monedas. También hay una balanza sobre la mesa, y cada comparación de pesos de dos grupos de monedas se llama una operación. La señorita Adams quiere decirle al señor Bean cuál moneda es la de $1$ gramo realizando algunas operaciones. ¿Cuál es el número mínimo de operaciones que necesita realizar?