Cinco hermanas van al teatro; cada una de ellas tiene un boleto numerado. Ana, la hermana menor, llega más tarde y encuentra a sus hermanas ya sentadas, habiendo escogido al azar sus asientos dentro de los cinco que su grupo tenía asignados. Al llegar, Ana insiste en sentarse en el asiento que le corresponde. Si lo encuentra ocupado, la hermana que se encuentra en su asiento también insiste en sentarse en su asiento asignado y así sucesivamente. ¿En cuántas de las 120 posibles distribuciones de los 5 asientos Rocío, la hermana mayor, tendrá que moverse?

Encontrar todos los enteros $n \geq 2$ para los cuales es posible colocar un número entero del 1 al 19 (sin repetir) en cada hexágono de la figura, de manera que en cada uno de los vértices interiores (marcados con $\bullet$ en la figura) la suma de los tres números que queden en los hexágonos que contienen al vértice sea múltiplo de $n$. [image]

Encontrar todos los enteros $A \leq 120$ que tienen exactamente 4 divisores y tales que la suma de los divisores es un cuadrado.

En una cuadrícula con $k$ renglones y 5 columnas (es decir, cada renglón está formado por 5 cuadritos) se escriben los números 1, 2, 3 y 4 de tal manera que en cada renglón aparecen exactamente dos de estos números y todos los renglones son distintos entre sí (por ejemplo un renglón podría ser (2,4,4,4,4) y otro distinto a él sería (4,4,2,4,4)). ¿Cuál es el mínimo valor de $k$ para el cual se puede asegurar que hay un rectángulo formado por las líneas de la cuadrícula en el que las cuatro esquinas tienen los 4 números?

En un torneo con $n \geq 3$ competidores cada uno jugó una vez contra cada uno de los demás. No hubo empates y ningún competidor le ganó a todos los demás. (a) Probar que hubo tres competidores $a$, $b$ y $c$ tales que $a$ le ganó a $b$, $b$ le ganó a $c$ y $c$ le ganó a $a$. (b) Para cada $n \geq 3$ dar un ejemplo en que sólo haya una terna de competidores \{$a,b,c\} con las condiciones del inciso anterior.

Dos círculos $C$ y $D$ se intersectan en los puntos $A$ y $B$. Una recta es tangente a ambos $C$ y $D$ en los puntos $C$ y $D$, respectivamente, y las rectas $CA$ y $CB$ intersectan nuevamente al círculo $D$ en $E$ y $F$, respectivamente. Sea $G$ el otro punto (distinto de $C$) en que la recta $CD$ intersecta al circuncírculo de $CEF$. Probar que $D$ es el punto medio del segmento $CG$.

En un paralelogramo $ABCD$, sean $L$, $M$ y $N$ los respectivos puntos medios de los lados $AB$, $BC$ y $CD$. Sean $P$ y $Q$ los puntos intersección de $AM$ con $DL$ y con $BN$, respectivamente. Probar que las áreas de los triángulos $APL$ y $BQM$ son iguales.

En un triángulo que tiene área 1, sea $M$ el producto del perímetro del triángulo con la suma de las tres alturas del mismo triángulo. Probar que $M > 12$.

Unas líneas rectas se dibujan en el plano de manera que entre los ángulos formados se encuentran todos los siguientes $10^\circ$, $20^\circ$, $30^\circ$, $40^\circ$, $50^\circ$, $60^\circ$, $70^\circ$, $80^\circ$, $90^\circ$. ¿Cuál es la menor cantidad posible de rectas?

Encontrar todos los enteros positivos $A$ menores que 4 millones, tales que $10A$ es un cuadrado y $6A$ es un cubo.