1 Sean $x,y$ y $z$ números reales positivos tales que $xy+yz+xz=3xyz$. Demuestra que \[ x^2y+y^2z+z^2x \ge 2(x+y+z)-3 \] y determina cuándo se da la igualdad. Reino Unido - David Monk

Sea $n\ge 3$ un entero positivo. Halle el mayor número real $t_n$ en función de $n$ tal que la desigualdad \[\max\left(|a_1+a_2|, |a_2+a_3|, \dots ,|a_{n-1}+a_{n}| , |a_n+a_1|\right) \ge t_n \cdot \max(|a_1|,|a_2|, \dots ,|a_n|)\] se cumple para todos los números reales $a_1, a_2, \dots , a_n$ . Propuesto por Rohan Goyal y Rijul Saini S.Ragnork1729

Euclides tiene una herramienta llamada partidor que solo puede realizar los siguientes dos tipos de operaciones: • Dados tres puntos marcados no colineales $X,Y,Z$ , puede trazar la recta que forma la bisectriz interior del ángulo $\angle{XYZ}$ . • Puede marcar el punto de intersección de dos rectas no paralelas previamente trazadas . Suponga que a Euclides solo se le dan tres puntos marcados no colineales $A,B,C$ en el plano . Demuestre que Euclides puede usar el partidor varias veces para trazar el centro de la circunferencia que pasa por $A,B$ y $C$ . Propuesto por Shankhadeep Ghosh S.Ragnork1729

3 Sea $ABCD$ un trapecio inscrito en una circunferencia $\Gamma$ con diámetro $AB$. Sea $E$ el punto de intersección de las diagonales $AC$ y $BD$. La circunferencia con centro $B$ y radio $BE$ corta a $\Gamma$ en los puntos $K$ y $L$ (donde $K$ está en el mismo lado de $AB$ que $C$). La recta perpendicular a $BD$ en $E$ interseca a $CD$ en $M$. Demuestra que $KM$ es perpendicular a $DL$. Grecia - Silouanos Brazitikos

4 Sea $n$ un entero positivo. Un hexágono regular de lado $n$ se divide en triángulos equiláteros de lado $1$ mediante líneas paralelas a sus lados. Encuentra el número de hexágonos regulares cuyos vértices están todos entre los vértices de esos triángulos equiláteros. UK - Sahl Khan

Sea $n\ge 2$ un entero positivo. Los enteros $1,2,\cdots,n$ están escritos en un tablero. En un movimiento, Alicia puede elegir dos enteros escritos en el tablero $a\neq b$ tales que $a+b$ sea un número par, borrar ambos $a$ y $b$ del tablero y escribir en su lugar el número $\frac{a+b}{2}$ . Halle todos los $n$ para los cuales Alicia puede hacer una sucesión de movimientos de modo que al final solo quede un número en el tablero. Nota. Cuando $n=3$ , Alicia transforma $(1,2,3)$ en $(2,2)$ y ya no puede hacer más movimientos. Propuesto por Rohan Goyal

Considere la sucesión definida por \(a_1 = 2\) , \(a_2 = 3\) , y \[ a_{2k+1} = 2 + 2a_k, \quad a_{2k+2} = 2 + a_k + a_{k+1}, \] para todos los enteros \(k \geq 1\) . Determine todos los enteros positivos \(n\) tales que \[ \frac{a_n}{n} \] es un entero. Propuesto por Niranjan Balachandran, SS Krishnan y Prithwijit De.

2 Un número especial es un entero positivo \( n \) para el cual existen enteros positivos \( a \), \( b \), \( c \) y \( d \) tales que \[ n = \frac {a^3 + 2b^3} {c^3 + 2d^3}. \] Demuestra que i) hay infinitos números especiales; ii) \( 2014 \) no es un número especial. Rumania

Sea $f$ una función no nula del conjunto de los enteros positivos en el conjunto de los enteros no negativos tal que para todos los enteros positivos $a$ y $b$ se tiene $$2f(ab)=(b+1)f(a)+(a+1)f(b).$$ Demuestre que para todo número primo $p$ existe un primo $q$ y enteros positivos $x_{1}$ , ..., $x_{n}$ y $m \geq 0$ tales que $$\frac{f(q^{p})}{f(q)} = (px_{1}+1) \cdot ... \cdot (px_{n}+1) \cdot p^{m},$$ donde los enteros $px_{1}+1$ , ..., $px_{n}+1$ son todos primos. Autor: Nikola Velov

2 Sean $E, F$ dos puntos distintos dentro de un paralelogramo $ABCD$. Determina el número máximo posible de triángulos que tienen la misma área, con tres vértices entre los puntos $A, B, C, D, E, F$.