¿De cuántas maneras diferentes es posible escribir $16$ como suma de enteros positivos impares? (Nota: El orden de los sumandos es importante; así, por ejemplo, $7 + 3 + 3 + 3$ y $3 + 7 + 3 + 3$ se consideran distintas.)

El dibujo muestra un rectángulo de $4 \times 7$ en el que el número de segmentos que unen puntos indicados por $\cdot$ es $134$. Determinar todas las posibles dimensiones de rectángulos que se pueden formar con el mismo patrón de construcción y que tengan también $134$ segmentos. [image]

¿De cuántas maneras puede partirse el conjunto ${1, 2, \\ldots, 9}$ en tres conjuntos si cada uno de esos conjuntos debe tener $3$ elementos y la suma de los elementos en cada conjunto no debe ser múltiplo de $3$? (Nota: No importa el orden de los elementos dentro de cada conjunto ni tampoco el orden de los conjuntos; por ejemplo, las dos siguientes distribuciones se consideran una misma: ${ \{ {4, 1, 2}, {3, 7, 6}, {5, 8, 9} \} }$ y ${ \{ {3, 6, 7}, {9, 8, 5}, {1, 4, 2} \} }$. )

¿Cuántos subconjuntos de 3 elementos escogidos dentro de $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ son tales que la suma de sus tres elementos no es múltiplo de 4?

En la figura, $ABC$ es un triángulo y un círculo corta a los lados en los puntos $P$, $P'$, $Q$, $Q'$, $R$ y $R'$. Se tiene además que $|P'Q|=|Q'R|=|R'P|$, y que $L$, $M$ y $N$ son los puntos medios de los segmentos $Q'R$, $R'P$ y $P'Q$, respectivamente. Probar que las rectas $AL$, $BM$ y $CN$ son concurrentes. [image]

En la figura, $ABCD$ es un cuadrilátero cíclico cuyas diagonales se cortan en ángulo recto; $P$ y $Q$ son los respectivos pies de las perpendiculares desde $D$ a $AB$ y desde $A$ a $BC$; $X$ es el punto de intersección de $DP$ con $AC$, y $Y$ es el punto de intersección de $AQ$ con $DB$. Demostrar que el cuadrilátero $DXYC$ es un rombo (es decir, es un paralelogramo con todos los lados de la misma longitud). [image]

En el tablero dibujado abajo a la izquierda quieren ponerse los números del 1 al 28 (uno en cada cuadrito) de manera que los tres números que tape cualquier ficha con la forma que se muestra a la derecha (en sus dos posiciones posibles) tengan suma múltiplo de 3. (Nota: La ficha puede girarse como se indica, pero al colocarse sobre el tablero debe quedar exactamente tapando tres cuadritos). ¿De cuántas maneras distintas es posible poner los números? [image]

En la siguiente figura hay una ficha en cada uno de los 16 triangulitos. Cada ficha debe moverse a un triangulito adyacente (es decir, a un triangulito que comparta un lado con el triangulito en el cual está la ficha originalmente) exactamente una vez. (a) ¿Cuál es el máximo número de triangulitos que pueden quedar vacíos? (b) ¿Cuál es el mínimo número de triangulitos que pueden quedar vacíos? [image]

En un tablero cuadriculado de $6 \times 10$ se juega un juego entre dos personas que alternan turnos. El jugador que inicia el juego pone una ficha en cualquiera de los cuadros; a partir del segundo turno debe ponerse cada vez una ficha en algún cuadro vacío que esté en el mismo renglón o la misma columna que la ficha que se puso en el turno anterior. Pierde el primer jugador que no puede jugar (es decir, que encuentra llenos todos los cuadros que están en el renglón y la columna de la ficha que se puso en el tablero en el turno anterior). Determinar cuál de los jugadores puede asegurar su triunfo y cómo debe jugar para lograrlo.

Cinco hermanas van al teatro; cada una de ellas tiene un boleto numerado. Ana, la hermana menor, llega más tarde y encuentra a sus hermanas ya sentadas, habiendo escogido al azar sus asientos dentro de los cinco que su grupo tenía asignados. Al llegar, Ana insiste en sentarse en el asiento que le corresponde. Si lo encuentra ocupado, la hermana que se encuentra en su asiento también insiste en sentarse en su asiento asignado y así sucesivamente. ¿En cuántas de las 120 posibles distribuciones de los 5 asientos Rocío, la hermana mayor, tendrá que moverse?