En un planeta, el año dura 101 días y los días están numerados del 1 al 101. Resulta que llueve un día, después deja de llover dos días, al día siguiente vuelve a llover y después deja de llover el día siguiente; otra vez llueve y luego pasan dos días más sin llover y así sucesivamente, alternándose los días que no hay lluvia en 2, 1, 2, 1, 2, etc. Llovió por primera vez el día 2, luego el 5, luego el 7, luego el 10, luego el 12, etc. Probar que, al pasar de los años, llega un momento en que ha llovido exactamente el mismo número de veces cada fecha del año, y encontrar cuántos años deben pasar para que eso ocurra.

Probar que todos los enteros positivos impares se pueden escribir en la forma $$a_0 + a_1 \cdot 2 + a_2 \cdot 2^2 + \cdots + a_n \cdot 2^n,$$ donde $n$ es cualquier entero no negativo y cada $a_i$ es 1 o $-1$ (por ejemplo, 11 = 1 – 2 + 4 + 8).

En la figura hay dos círculos que se intersectan en los puntos $P$ y $Q$; $X$ es un punto sobre la recta por $P$ y $Q$, y los puntos $A$, $B$, $C$ y $D$ son las intersecciones de los círculos con rectas que pasan por $X$, como se muestra en la figura. Probar que $YB \cdot YA = YC \cdot YD$. [image]

¿Cuál es la máxima longitud de un camino de $A$ a $B$ en la figura, si el camino debe seguir las líneas y no debe repetir ningún segmento (pero sí puede repetir vértices)? [image]

En un estanque hay 100 litros de agua inicialmente. Se desea poner entre 2 y 6 desagües del mismo tamaño, por donde saldrá toda el agua lentamente. Se tienen 100 recipientes: uno con capacidad de 1 litro, otro con capacidad de 2 litros, otro con capacidad de 3 litros y así sucesivamente (el último tiene capacidad de 100 litros). Se quieren escoger algunos de estos recipientes y colocar uno en cada desagüe para recolectar agua (se escoge el mismo número de recipientes que de desagües). Se requiere que la suma de las capacidades de los recipientes escogidos sea 100. Aún cuando un recipiente se llena, el agua continúa saliendo por el desagüe y se tira. Determinar el número óptimo de desagües y las capacidades de los recipientes escogidos de tal manera que la suma de las capacidades de los recipientes llenos cuando se terminan los 100 litros sea máxima. (Nota: Sólo cuentan los recipientes que se hayan sido llenados por completo, por ejemplo, si se colocan cuatro recipientes con capacidades 12, 20, 28 y 40, la cantidad de litros recolectados será de $12 + 20 = 32$).

Encontrar el mayor número que no tenga cifras repetidas y que sea múltiplo de $99$.

En una competencia de basquetbol entre 7 equipos todos jugaron el mismo número de juegos. Se sabe que no hubo empates, que dos de los equipos ganaron todos los juegos que jugaron y que otro de los equipos sólo perdió uno. Probar que forzosamente hay algún equipo que perdió todos los juegos que jugó.

Con piezas de madera de la forma indicada abajo se construyó un rectángulo de lados $a, b$. Determinar cuáles de los siguientes valores para $(a, b)$ son posibles y cuáles no. (Nota: Las piezas se pueden voltear o girar a conveniencia; son L’s construidas pegando tres cuadraditos de $1 × 1$.) $(a, b) = (3, 41), (35, 16), (28, 3), (35, 12), (33, 43), (9, 60).$ [image]

En un triángulo $ABC$, los puntos $P, Q$ y $R$ están sobre los lados $BC, AB$ y $CA$, respectivamente, de manera que $PQ$ es paralela a $AC$ y $PR$ es paralela a $AB$; los puntos $K, S$ y $T$ son las respectivas intersecciones de $AP$ con $QR$, de $CK$ con $AB$ y de $BK$ con $AC$. Probar que si $ST$ es paralela a $BC$ entonces $QR$ también es paralela a $BC$.

Sea $ABCD$ un cuadrilátero tal que $BC || AD$, $| AB | = | CD |$ y $| BC | \\ \leq | AD |$. Un punto $P$ sobre el segmento $BC$ es tal que $\angle BAP = \angle PAD$. Probar que $|BP| \leq |PD|.