G4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo, sean $H$ y $O$ su ortocentro y circuncentro, respectivamente, y sean $S$ y $T$ los pies de las alturas desde $B$ a $AC$ y desde $C$ a $AB$, respectivamente. Sea $M$ el punto medio del segmento $ST$, y sea $N$ el punto medio del segmento $AH$. La recta que pasa por $O$, paralela a $BC$, corta a los lados $AC$ y $AB$ en $F$ y $G$, respectivamente. La recta $NG$ corta de nuevo a la circunferencia $BGO$ en $K$, y la recta $NF$ corta de nuevo a la circunferencia $CFO$ en $L$. Demuestra que los triángulos $BCM$ y $KLN$ son semejantes.

4 Para todo $a_1, a_2, \dots, a_6$ positivos, demuestra la desigualdad \[ \sqrt[4]{\frac{a_1}{a_2 + a_3 + a_4}} + \sqrt[4]{\frac{a_2}{a_3 + a_4 + a_5}} + \dots + \sqrt[4]{\frac{a_6}{a_1 + a_2 + a_3}} \ge 2 \]

G1 Sea $ABCD$ un paralelogramo. Una recta que pasa por $C$ corta al lado $AB$ en un punto interior $X$, y a la recta $AD$ en $Y$. Las tangentes a la circunferencia $AXY$ en $X$ y en $Y$, respectivamente, se cortan en $T$. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABD$ y $TXY$ se intersecan en dos puntos, uno que está sobre la recta $AT$ y el otro sobre la recta $CT$.

C1 Determina el mayor entero $n\geq 3$ para el cual las aristas del grafo completo sobre $n$ vértices pueden asignarse enteros no negativos distintos por pares, de modo que las aristas de cada triángulo tengan números que formen una progresión aritmética.

G2 Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. La recta que pasa por $I$, perpendicular a $AI$, corta a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en los puntos $P$ y $Q$. Resulta que existe un punto $T$ sobre el lado $BC$ tal que $AB + BT = AC + CT$ y $AT^2 = AB \cdot AC$. Determina todos los valores posibles de la razón $IP/IQ$.

A4 Sea $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ una función no decreciente tal que $f(y) - f(x) < y - x$ para todos los números reales $x$ y $y > x$. La sucesión $u_1,u_2,\ldots$ de números reales satisface que $u_{n+2} = f(u_{n+1}) - f(u_n)$ para todo $n\geq 1$. Demuestra que para cualquier $\varepsilon > 0$ existe un entero positivo $N$ tal que $|u_n| < \varepsilon$ para todo $n\geq N$.

N1 Dado un entero positivo $N$, determina todos los enteros positivos $n$ que satisfacen la siguiente condición: para cualquier lista $d_1,d_2,\ldots,d_k$ de divisores de $n$ (no necesariamente distintos) tales que $\frac{1}{d_1} + \frac{1}{d_2} + \ldots + \frac{1}{d_k} > N$, algunas de las fracciones $\frac{1}{d_1}, \frac{1}{d_2}, \ldots, \frac{1}{d_k}$ suman exactamente $N$.

N2 Llamamos adecuado a un conjunto de enteros positivos si ninguno de sus elementos es coprimo con la suma de todos los elementos de ese conjunto. Dado un número real $\varepsilon \in (0,1)$ , demuestra que, para todo entero positivo $N$ suficientemente grande, existe un conjunto adecuado de tamaño al menos $\varepsilon N$ , cuyos elementos son todos a lo sumo $N$ .

1 Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo. Los puntos $R$ y $S$ están en los segmentos $DC$ y $AB$, respectivamente, tales que $AD = RC$ y $BC = SA$. Sean $P$, $Q$ y $M$ los puntos medios de $RD$, $BS$ y $CA$, respectivamente. Si $\angle MPC + \angle MQA = 90^\circ$, demuestra que el cuadrilátero $ABCD$ es cíclico.

2 Demuestra que todo entero positivo puede expresarse como una suma de potencias de $3$, $4$ y $7$, bajo la condición de que ninguna potencia $3^k$, $4^k$ o $7^k$ se use más de una vez. Por ejemplo: $2 = 7^0 + 7^0$ y $22 = 3^2 + 3^2 + 4^1$ no son representaciones válidas, ya que repiten la misma potencia. Sin embargo, $2 = 3^0 + 7^0$ y $22 = 3^2 + 3^0 + 4^1 + 4^0 + 7^1$ son representaciones válidas.