3. Encuentra todas las funciones \( f : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) tales que se cumplan las siguientes dos condiciones: 1. Para todos los números reales $a$ y $b$ que satisfacen $a^2 + b^2 = 1$, tenemos $f(x) + f(y) \geq f(ax + by)$ para todos los números reales $x, y$. 2. Para todos los números reales $x$ y $y$, existen números reales $a$ y $b$, tales que $a^2 + b^2 = 1$ y $f(x) + f(y) = f(ax + by)$. Propuesto por Zaza Melikidze, Georgia

4 Encuentra todas las funciones \( f : \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \to \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \) tales que para todo \( x, y \in \mathbb{Q}[\sqrt{2}] \), $$ f(xy) = f(x)f(y) \quad \text{y} \quad f(x + y) = f(x) + f(y), $$ donde \( \mathbb{Q}[\sqrt{2}] = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Q} \} \). Propuesto por Stijn Cambie, Bélgica

5. Tenemos una fila infinita de celdas que se extiende infinitamente en ambas direcciones. Algunas celdas contienen una o más piedras. El número total de piedras es finito. En cada movimiento, el jugador realiza una de las siguientes tres operaciones: 1. Toma tres piedras de alguna celda, y añade una piedra a las celdas ubicadas una celda a la izquierda y una celda a la derecha, saltando una celda en cada caso. 2. Toma dos piedras de alguna celda, y añade una piedra a la celda una posición a la izquierda, saltando una celda, y una piedra a la celda adyacente a la derecha. 3. Toma una piedra de cada una de dos celdas adyacentes, y añade una piedra a la celda a la derecha de estas dos celdas. El proceso termina cuando no son posibles más movimientos. Demuestra que el proceso siempre termina y que la distribución final de piedras no depende de las elecciones de movimientos realizadas por el jugador. https://i.imgur.com/IjcIDOa.png Propuesto por Luka Tsulaia, Georgia

6 Para cualquier subconjunto $S \subseteq \mathbb{Z}^+$, una función $f : S \to S$ se llama interesante si se cumplen las siguientes dos condiciones: 1. No existe un elemento $a \in S$ tal que $f(a) = a$. 2. Para todo $a \in S$, tenemos que $f^{f(a) + 1}(a) = a$ (donde $f^{k}$ denota la $k$-ésima iteración de $f$). Demuestra que: a) Existen infinitas funciones interesantes $f : \mathbb{Z}^+ \to \mathbb{Z}^+$. b) Existen infinitos enteros positivos $n$ para los cuales no hay ninguna función interesante $$ f : \{1, 2, \ldots, n\} \to \{1, 2, \ldots, n\}. $$ Propuesto por Giorgi Kekenadze, Georgia

1. Determina todos los conjuntos de seis enteros positivos consecutivos tales que el producto de algunos dos de ellos, sumado al producto de otros dos de ellos, sea igual al producto de los dos números restantes.

2 Sean $x,y,z$ enteros positivos tales que $x\neq y\neq z \neq x$. Demuestra que $$(x+y+z)(xy+yz+zx-2)\geq 9xyz.$$ ¿Cuándo se da la igualdad? Propuesto por Dorlir Ahmeti, Albania

3 Sea \(ABC\) un triángulo acutángulo tal que \(AB\neq AC\), con circunferencia circunscrita \(\Gamma\) y circuncentro \(O\). Sea \(M\) el punto medio de \(BC\) y \(D\) un punto en \(\Gamma\) tal que \(AD \perp BC\). Sea \(T\) un punto tal que \(BDCT\) es un paralelogramo y \(Q\) un punto en el mismo lado de \(BC\) que \(A\) tal que \(\angle{BQM}=\angle{BCA}\) y \(\angle{CQM}=\angle{CBA}\). Sea la recta \(AO\) que intersecta a \(\Gamma\) en \(E\) \((E\neq A)\) y sea la circunferencia del triángulo \(ETQ\) que intersecta a \(\Gamma\) en el punto \(X\neq E\). Demuestra que los puntos \(A\), \(M\) y \(X\) son colineales.

Considera un 2n-ágono regular \( P \), \( A_1,A_2,\cdots ,A_{2n} \) en el plano, donde \( n \) es un entero positivo. Decimos que un punto \( S \) sobre uno de los lados de \( P \) puede verse desde un punto \( E \) externo a \( P \), si el segmento \( SE \) no contiene otros puntos que estén sobre los lados de \( P \) excepto \( S \). Coloreamos los lados de \( P \) con 3 colores diferentes (ignora los vértices de \( P \), los consideramos incoloros), de modo que cada lado esté coloreado con exactamente un color, y cada color se use al menos una vez. Además, desde cada punto en el plano externo a \( P \), se pueden ver puntos de a lo más 2 colores diferentes sobre \( P \). Encuentra el número de tales coloraciones distintas de \( P \) (dos coloraciones se consideran distintas si al menos uno de los lados está coloreado de manera diferente). Propuesto por Viktor Simjanoski, Macedonia JBMO 2017, Q4

1: ATimo escribió: ABC es un triángulo con A=90 y C=30. Sea M el punto medio de BC. Sea W una circunferencia que pasa por A y es tangente en M a BC. Sea P la circunferencia circunscrita de ABC. W interseca a AC en N y a P en M. Demuestra que MN es perpendicular a BC. Déjame corregir tu pregunta y ponerla en $\text{\LaTeX}$. :) **Pregunta corregida** **Pregunta** $ABC$ es un triángulo con $\angle BAC=90^{\circ}$ y $\angle ACB=30^{\circ}$. Sea $M_1$ el punto medio de $BC$. Sea $W$ una circunferencia que pasa por $A$ y es tangente en $M_1$ a $BC$. Sea $P$ la circunferencia circunscrita de $ABC$. $W$ interseca a $AC$ en $N$ y a $P$ en $M$. Demuestra que $MN$ es perpendicular a $BC$. **Solución** **Solución** Sea $M_1$ el punto medio de $BC$. Y sea $C_1$ el centro de $W$. Entonces, primero mostramos que $C_1\in AC$. Claramente $C_1M_1\perp BC$. Y también, como $M_1$ es el centro de $P$ ya que $ABC$ es un triángulo rectángulo, tenemos $M_1A=M_1B=M_1C$. Así que $\angle M_1AB=\angle M_1BA=60^{\circ}$. Y esto implica que $\triangle AM_1B$ es equilátero. Entonces, $\angle C_1M_1A=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}=\angle C_1AM_1$. Pero entonces, $\angle C_1AM_1+\angle M_1AB=90^{\circ}=\angle C_1AB=\angle CAB$. Esto muestra que $\boxed{C_1\in AC}$. A continuación, $C_1N=C_1M_1$ y $\angle AC_1M_1=180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}=120^{\circ}=180^{\circ}-\angle NC_1M_1$, lo que muestra que $\triangle NC_1M_1$ es equilátero. De nuevo, $C_1M=C_1A$ muestra que $\angle C_1AM=\angle C_1MA$. Ahora nota que $AM$ es el eje radical de $P$ y $W$. Así que $M_1C_1\perp AM$. Sea $M_1C_1\cap AM=X$. Entonces, $AC_1X=60^{\circ}\Rightarrow NC_1M=180^{\circ}-\angle MC_1X-60^{\circ}=60^{\circ}$. Pero $C_1M=C_1N$. Por lo tanto, $\angle MNC_1=\angle NC_1M\Rightarrow MN\parallel M_1C_1\Rightarrow \boxed{MN\perp BC}$. Esto completa la demostración. :)

2: En el cuadrilátero $ABCD$ tenemos $ \measuredangle B=\measuredangle D = 60^\circ $ . $M$ es el punto medio del lado $AD$ . La recta que pasa por $M$ paralela a $CD$ corta a $BC$ en $P$ . El punto $X$ está sobre $CD$ tal que $BX=MX$ . Demuestra que $AB=BP$ si y solo si $\measuredangle MXB=60^\circ$ . Autor: Davoud Vakili, Irán