Sea $ABC$ un triángulo equilátero y sea $D$ cualquier punto en la prolongación del lado $BC$ (con $C$ entre $B$ y $D$). Sea $P$ la intersección de la bisectriz del ángulo $\angle BAD$ con $BC$. Sea $X$ la intersección del circuncírculo del triángulo $APC$ con $AD$. Probar que $AX = AC$.

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $a \leq b$ que satisfagan la siguiente ecuación: $$a!b! = a^2b^2.$$

¿Existe un triángulo $ABC$ y un punto $P$ en su interior que cumplan que toda recta que pasa por $P$ divide a $ABC$ en dos figuras de igual área?

Encontrar todas las soluciones de la ecuación $a^3(b^2 - p) = a^3 + b^2 - 1$ con $a$ y $b$ enteros positivos y $p$ número primo.

Mostrar que el siguiente tablero de $5 \times 5$ no se puede completar con los números del 1 al 25 (usando exactamente una vez cada uno) de modo que en cada columna y en cada renglón la suma sea la misma. [image]

Dos jugadores $A$ y $B$ juegan alternadamente en una cuadrícula de $n \times n$. Una tirada consiste en escoger un entero $2 \leq m \leq n$ y una subcuadrícula de $m \times m$ contenida en la cuadrícula inicial, y pintar todos los cuadritos de $1 \times 1$ que están en una de las dos diagonales de dicha subcuadrícula. Además se tiene la restricción de que no se puede escoger una subcuadrícula que contenga cuadritos pintados previamente (ver el ejemplo que se ilustra abajo en la figura). Pierde el jugador que ya no puede borrar cuadritos. Si $B$ es el segundo en tirar, ¿quién de $A$ o $B$ puede asegurar que ganará si juega apropiadamente y ¿cómo debe hacer para asegurar su triunfo? [image]

Se tienen 11 tarjetas numeradas del 1 al 11. Determinar todas las formas de distribuir las tarjetas en 3 montones de tal manera que la suma de las tarjetas de cada montón sea 22 y que en ninguno de los montones haya dos tarjetas una de las cuales tenga un número primo y la otra esté numerada con un número múltiplo de ese primo (por ejemplo, la tarjeta que lleva el 10 no puede estar en el mismo montón que la que lleva el 5).

En un torneo había 7 equipos que jugaron todos contra todos una vez. Cada día se efectuó un partido. En determinado momento se observó que cada equipo había jugado a lo más 3 juegos. Probar que a alguno de los equipos le faltaban en ese momento por lo menos 4 juegos por jugar.

Sean $l$ y $m$ dos rectas paralelas. Sean $A$, $B$, $C$ y $D$ puntos en $l$ y $E$, $F$, $G$ y $H$ puntos en $m$ de forma que $|AB| = |CD|$ y $|EF| = |GH|$ (ver figura). Sean $P$ y $Q$ los puntos de intersección de $AG$ con $CE$ y de $BH$ con $DF$ respectivamente. Demostrar que el segmento $PQ$ es paralelo a las rectas $l$ y $m$. [image]

Encontrar todos los conjuntos $A$ que consten de 4 enteros menores que 250, en los cuales cada pareja de elementos tenga máximo común divisor igual a un número primo, y que todos esos primos sean distintos.