20 Demuestre que todo entero $ k$ mayor que 1 tiene un múltiplo menor que $ k^4$ que puede escribirse en el sistema decimal con a lo sumo cuatro dígitos distintos.

21 Sea $ n$ un número natural compuesto y $ p$ un divisor propio de $ n.$ Halle la representación binaria del menor número natural $ N$ tal que \[ \frac{(1 + 2^p + 2^{n-p})N - 1}{2^n}\] es un entero.

15 Determine para cuáles enteros positivos $ k$ el conjunto \[ X = \{1990, 1990 + 1, 1990 + 2, \ldots, 1990 + k\}\] puede particionarse en dos subconjuntos disjuntos $ A$ y $ B$ tales que la suma de los elementos de $ A$ sea igual a la suma de los elementos de $ B.$

22 Diez localidades son servidas por dos aerolíneas internacionales de modo que existe un servicio directo (sin escalas) entre cualesquiera dos de estas localidades y todos los itinerarios de las aerolíneas ofrecen servicio de ida y vuelta entre las ciudades que sirven. Demuestre que al menos una de las aerolíneas puede ofrecer dos viajes de ida y vuelta disjuntos, cada uno con un número impar de aterrizajes.

23 Determine todos los enteros $ n > 1$ tales que \[ \frac {2^n + 1}{n^2} \] es un entero.

24 Sean $ w, x, y, z$ reales no negativos tales que $ wx + xy + yz + zw = 1$ . Demuestre que $ \frac {w^3}{x + y + z} + \frac {x^3}{w + y + z} + \frac {y^3}{w + x + z} + \frac {z^3}{w + x + y}\geq \frac {1}{3}$ . Fermat -Euler

25 Sea $ {\mathbb Q}^ +$ el conjunto de los números racionales positivos. Construya una función $ f : {\mathbb Q}^ + \rightarrow {\mathbb Q}^ +$ tal que \[ f(xf(y)) = \frac {f(x)}{y} \] para todos $ x$ , $ y$ en $ {\mathbb Q}^ +$ .

27 Halle todos los números naturales $ n$ para los cuales todo número natural cuya representación decimal tiene $ n - 1$ dígitos $ 1$ y un dígito $ 7$ es primo.

28 Demuestre que en el plano coordenado es imposible trazar una línea poligonal cerrada tal que (i) las coordenadas de cada vértice sean racionales; (ii) la longitud de cada una de sus aristas sea 1; (iii) la línea tenga un número impar de vértices.

1 Las cuerdas $ AB$ y $ CD$ de una circunferencia se intersecan en un punto $ E$ interior a la circunferencia. Sea $ M$ un punto interior del segmento $ EB$ . La recta tangente en $ E$ a la circunferencia que pasa por $ D$ , $ E$ y $ M$ interseca a las rectas $ BC$ y $ AC$ en $ F$ y $ G$ , respectivamente. Si \[ \frac {AM}{AB} = t, \] halle $\frac {EG}{EF}$ en términos de $ t$ .