Los vértices de un polígono regular de 160 lados están numerados en el sentido de las manecillas del reloj del 1 al 160. En un juego, Manuel debe escoger un vértice y ponerle una marca. Después seguirá marcando algunos vértices de acuerdo a la siguiente regla: Cada vez que marque un vértice con número par, girará en el sentido de las manecillas del reloj el mismo número de vértices que indique el vértice que acaba de marcar. Por ejemplo, si escoge el vértice 42, marcará éste, luego el 84, luego el 8, etc.). En caso de que en algún momento marque un vértice con número impar, entonces hará lo mismo que con el par, pero en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Irá marcando vértices hasta que llegue a un vértice ya marcado y ahí termina su juego. ¿Cuál es el máximo número de vértices que puede marcar?

En un torneo de voleibol jugarán $9$ equipos; cada equipo jugará una vez contra cada uno de los otros $8$. No habrá empates. En cada juego, al ganador se le dará $1$ punto y al perdedor $0$. Se eliminarán todos los equipos que al final del torneo hayan acumulado $2$ puntos o menos. ¿Cuál es la máxima cantidad de equipos que podrán quedar eliminados?

Encontrar todas las soluciones de la siguiente ecuación, en la que $p$, $q$ y $r$ deben ser números primos (positivos): $2pq = 7rq + 5q + 3p$.

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo con $\angle ABC = 90^\circ$ y $|AB| = 2|BC|$. Sea $D$ un punto sobre la bisectriz de $\angle B$ tal que $|AD| = |DC|$. Probar que la perpendicular a $BD$ por $A$ corta el segmento $DC$ en su punto medio.

¿Cuál es el menor entero $n$ $(n \geq 3)$ con el que si los enteros del $1$ al $n$ se separan al azar en tres conjuntos (cada elemento en exactamente uno de los tres conjuntos) entonces se puede asegurar en alguno de los $3$ conjuntos hay $3$ elementos (distintos) con suma múltiplo de $3$?

Sea $ABC$ un triángulo rectángulo isósceles con ángulo recto en $A$. Sea $D$ un punto sobre $BC$ tal que $BD = 2DC$ y sea $E$ el pie de la perpendicular de $B$ sobre $AD$. Determinar el ángulo $\angle CED$.

¿Cuántos caminos hay que usen las líneas de la siguiente figura y que pasen exactamente una vez por cada uno de los puntos (marcados por $\bullet$)? (Nota: Considerar como distintos dos caminos que usen la misma sucesión de puntos pero en sentido inverso uno del otro). [image]

Si $f(x) = \frac{1}{x}$ y $g(x) = 1 - x$, ¿cuánto vale $g(f(g(f(g(f(2013))))) \cdots )$ en donde $g$ (y también $f$) se aplica $100$ veces?

En un tablero cuadridulado de $100 \times 100$ cuadros, todos los cuadritos son inicialmente blancos. En cierto juego, dos jugadores $A$ y $B$ realizan alternadamente la siguiente operación (empieza $A$): (a) Escoge un cuadrito blanco (de $1 \times 1$) y pinta de negro ese cuadro y también todos los cuadros que cumplan cualquiera de las condiciones siguientes: \* Que en ese turno sean blancos y que estén en donde se cruzan el renglón del cuadro escogido y la columna de algún cuadro que haya sido previamente pintado de negro. \* Que en ese turno sean blancos y que estén en donde se cruzan la columna del cuadro escogido y el renglón de algún cuadro que haya sido previamente pintado de negro. Como ejemplo, aquí abajo se muestran $4$ operaciones sucesivas posibles. Se indica con una cruz el cuadro que se escoge en ese momento y, para ilustrar, se ponen de gris los cuadros que se deben pintar de negro en ese turno. [image] El juego termina cuando todos los cuadros son negros. Gana el último jugador que pudo escoger un cuadro blanco para pintarlo (junto con los que cumplan la regla descrita). Determinar cuál de los dos jugadores puede asegurar su triunfo si juega correctamente, y decir cómo debe jugar.

Sea $\mathcal{P}$ un polígono regular de 20 lados. Determinar cuántos triángulos $\mathcal{T}$ con vértices en los vértices de $\mathcal{P}$ cumplen que ningún lado de $\mathcal{T}$ es también lado de $\mathcal{P}$.