1 Determina el número de valores distintos que aparecen en la sucesión \[\left\lfloor\frac{2025}{1}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2025}{2}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2025}{3}\right\rfloor,\dots,\left\lfloor\frac{2025}{2024}\right\rfloor,\left\lfloor\frac{2025}{2025}\right\rfloor.\]

6 Sea $\mathbb{R}_{\neq 0}$ el conjunto de los números reales distintos de cero. Encuentra todas las funciones $f:\mathbb{R}_{\neq 0}\rightarrow\mathbb{R}_{\neq 0}$ tales que, para todo $x,y\in\mathbb{R}_{\neq 0}$ , \[(x-y)f(y^2)+f\left(xy\,f\left(\frac{x^2}{y}\right)\right)=f(y^2f(y)).\]

Sea un país con 2025 ciudades, donde algunos pares de ciudades tienen rutas aéreas bidireccionales entre ellos. Para cualquier par de ciudades, la ruta entre ellas debe ser operada por una de las compañías \(X\), \(Y\) o \(Z\). Para evitar favorecer injustamente a una compañía específica, la regulación asegura que si hay tres ciudades \(A\), \(B\) y \(C\), con rutas \(A \leftrightarrow B\) y \(A \leftrightarrow C\) operadas por dos compañías diferentes, entonces debe existir la ruta \(B \leftrightarrow C\) operada por la tercera compañía, distinta de \(A \leftrightarrow B\) y \(A \leftrightarrow C\). Sean \(n_X\), \(n_Y\) y \(n_Z\) el número de rutas operadas por las compañías \(X\), \(Y\) y \(Z\), respectivamente. Se sabe que, partiendo de una ciudad, se puede llegar a cualquier otra ciudad a través de una serie de rutas (no necesariamente operadas por la misma compañía). Encuentra el valor mínimo posible de \(\max(n_X, n_Y, n_Z)\). Propuesto por usjl y YaWNeeT

2 Sean $\omega$ y $\Omega$ el incírculo y el circuncírculo del triángulo acutángulo $ABC$, respectivamente. Dibuja un cuadrado $WXYZ$ de modo que todos sus lados sean tangentes a $\omega$, y $X$, $Y$ estén ambos sobre $BC$. Extiende $AW$ y $AZ$, intersectando a $\Omega$ en $P$ y $Q$, respectivamente. Demuestra que $PX$ y $QY$ se intersectan sobre $\Omega$. Propuesto por kyou46, Li4, Revolilol.

3 Encuentra el número de polinomios $F(x,y)$ que satisfacen lo siguiente: 1. $\deg F \leq 2048$ ; 2. los coeficientes de $F(x,y)$ son $0$ y $1$ ; 3. $F(x,0)=F(0,y)\equiv 0$ ; 4. $F(x+z,y)+F(z,y)+F(x,y+z)+F(x,z)$ tiene todos sus coeficientes pares. Propuesto por usjl

4 Sea $a$ un número real positivo. Encuentra todas las funciones $f: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{R}^+$ tales que $af(x) - f(y) + y > 0$ y \[ f(af(x) - f(y) + y) \leq x + f(y) - y, \quad \forall x, y \in \mathbb{R}^+. \] propuesto por chengbilly

Sea \(a\) un entero positivo. Decimos que \(a\) es bao-bueno si existen enteros \((s,l)\) tales que: 1. No existe un entero positivo \(b\) para el cual \[ a \mid s^b - l. \] 2. Para todo divisor propio \(a'\) de \(a\) (es decir, \(a' \mid a\) y \(1 \le a' < a\)), existe un entero positivo \(b\) tal que \[ a' \mid s^b - l. \] Determina todos los enteros positivos bao-buenos \(a\).

Demuestre que hay infinitos enteros positivos impares $n$ tales que $n^5+2n+1$ se puede expresar como suma de cuadrados de dos enteros coprimos. Acorn-SJ

A1 Sea $(a_n)_{n=0}^{\infty}$ una sucesión de números reales definida de la siguiente manera: $a_0 = 3$ , $a_1 = 2$ , y $a_2 = 12$ ; y $2a_{n + 3} - a_{n + 2} - 8a_{n + 1} + 4a_n = 0$ para $n \geq 0$ . Muestre que $a_n$ es siempre un entero estrictamente positivo.

3 Sea $(O)$ una circunferencia, y sea $BC$ una cuerda de $(O)$ tal que $BC$ no es un diámetro. Sea $A$ un punto sobre el arco mayor $BC$ de $(O)$ , y sean $E, F$ los pies de las perpendiculares desde $B$ y $C$ a $AC$ y $AB$ , respectivamente. 1. Demuestre que las tangentes a $(AEF)$ en $E$ y $F$ se intersecan en un punto fijo $M$ cuando $A$ se mueve sobre el arco mayor $BC$ de $(O)$ . 2. Sea $T$ la intersección de $EF$ y $BC$ , y sea $H$ el ortocentro de $ABC$ . Demuestre que $TH$ es perpendicular a $AM$ .