En un tablero de $4 imes 4$ como el que se muestra abajo a la izquierda se van a colocar fichas como la que se muestra a su lado, en cualquier posición, de manera que cada ficha tape exactamente 3 de los cuadritos de la cuadrícula. Llamamos nivel a cualquier colocación de las fichas en la que ya no quepa ninguna ficha más, como la colocación que se muestra abajo a la derecha. ¿Cuál es el menor número de niveles necesarios para que cada cuadrito del tablero tenga encima de él exactamente 60 fichas? [image]

En la cuadrícula de abajo, cada cuadrito es de $1 imes 1$. ¿Cuántos caminos de longitud $9$ hay de $P$ a $Q$ que usen las líneas de la figura pero que no pasen dos veces por un mismo punto? [image]

Sea $ABCDE$ un pentágono regular. Sobre el lado $AE$ se construye el triángulo equilátero $AFE$, hacia afuera del pentágono. Sea $P$ un punto en el segmento $BF$ (en el interior del pentágono) de tal forma que $\angle AEP = 12°$. Calcular el valor de $\angle CAP$. [image]

Una hoja de papel rectangular $ABCD$ se dobla de manera que el vértice $B$ queda ubicado en el punto $B'$ sobre el lado $AD$, como se muestra en la figura (y $C$ queda en $C'$). Sean $E$ y $F$ los extremos del segmento determinado por el doblez, con $E$ sobre $AB$ y $F$ sobre $CD$. Sea $G$ el punto de intersección de $B'C'$ y $CD$. Sea $H$ el pie de la perpendicular desde $G$ hasta $FE$. Sea $I$ el punto donde la bisectriz del ángulo $\angle AEB'$ intersecta $AD$. Demostrar que $$\frac{GH}{CF} = \frac{EB}{EI}.$$ [image]

Digamos que un número entero $n$ es partible si se puede poner como la suma de $n$ enteros y también como el producto de esos mismos $n$ enteros. Por ejemplo, el número $12$ es partible pues $$12 = 6 imes (-2) imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes 1 imes (-1)$$$$= 6 + (-2) + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + (-1).$$ Demostrar que el número $2015$ no es partible, es decir, que no existen enteros $a_1, a_2, \\ldots , a_{2015}$ tales que las dos expresiones siguientes den como resultado $2015$: $$a_1 imes a_2 imes \\cdots imes a_{2015}$$$$a_1 + a_2 + \\cdots + a_{2015}.$$

Sea $ ABC $ un triángulo acutángulo. Sean $ D, E $ y $ F $ los respectivos pies de las alturas en $ A, B $ y $ C $. Sean $ D', E', F' $, puntos sobre los segmentos $ BC, CA $ y $ AB $ (respectivamente) tales que $ |BD| = |D'C'|, |CE| = |E'A| $ y $ |AF| = |F'B| $. Probar que son concurrentes las perpendiculares a $ BC $ en $ D' $, a $ CA $ en $ E' $ y a $ AB $ en $ F' $.

El entero positivo $ n $ y el primo $ p $ cumplen que $ p $ no divide a $ (3n)! $ pero sí divide a $ (3n + 1)! + (3n + 2)! $. Mostrar que $ 3 $ divide a $ p - 1 $.

Un triángulo equilátero de lado 7 se divide en triángulos equiláteros de lado 1 (ver la figura). Se pintan todos los vértices de los triángulos usando los colores rojo, verde y azul de manera que cada triangulito de lado 1 tiene un vértice de cada color. Probar que si se eligen segmentos (de lado 1) de manera que cada vértice pertenece a exactamente un segmento, entonces el número de segmentos elegidos que van de un vértice rojo a uno azul es el mismo que el número de segmentos que van de un vértice rojo a uno verde. [image]

Probar que si $ a, b, c $ y $ d $ son números reales positivos, entonces $ 4a^2 + 2b^4 + c^8 + d^8 \\geq 8abcd $.

Los vértices de un polígono regular de 160 lados están numerados en el sentido de las manecillas del reloj del 1 al 160. En un juego, Manuel debe escoger un vértice y ponerle una marca. Después seguirá marcando algunos vértices de acuerdo a la siguiente regla: Cada vez que marque un vértice con número par, girará en el sentido de las manecillas del reloj el mismo número de vértices que indique el vértice que acaba de marcar. Por ejemplo, si escoge el vértice 42, marcará éste, luego el 84, luego el 8, etc.). En caso de que en algún momento marque un vértice con número impar, entonces hará lo mismo que con el par, pero en el sentido contrario al de las manecillas del reloj. Irá marcando vértices hasta que llegue a un vértice ya marcado y ahí termina su juego. ¿Cuál es el máximo número de vértices que puede marcar?