En un círculo hay 9 casillas numeradas del 1 al 9. Determinar de cuántas maneras pueden colocarse 3 pelotas rojas, 3 azules y 3 verdes en las casillas si dos pelotas del mismo color no deben quedar juntas.

Encontrar todas las ternas de primos $(p, q, r)$ (no necesariamente distintos), tales que $\frac{p}{q+r} + \frac{q}{p+r} = 1$.

En el hexágono convexo $ABCDEF$ lados opuestos son paralelos y de la misma longitud. El punto $P$ está sobre el segmento $AB$ y es tal que $|AP| = \frac{|AB|}{3}$. Las rectas $EA$ y $DP$ se intersectan en $Q$; las rectas $DA$ y $BQ$ se intersectan en $R$, y las rectas $CA$ y $FR$ se intersectan en $S$. Probar que $S$ es punto medio del segmento $FR$.

En la figura se muestran tres círculos iguales $\mathcal{K}$, $\mathcal{L}$ y $\mathcal{M}$ inscritos en el rectángulo $ABCD$; $K$ y $L$ son tangentes en $P$, $M$ pasa por $P$, $T$ es el punto de $L$ tal que $AT$ es tangente a $L$. Probar que $A$, $T$ y $C$ son colineales.

Digamos que una sucesión de enteros no negativos $(a_1, a_2, \\ldots, a_n)$ es consistente si cumple que \ \( egin{align*} 0 &\leq a_i \text{, para toda } i = 1, 2, \\ldots, n, \\ a_i &\leq i, \text{ y } \\ a_i &\equiv a_j \pmod{i} \text{ si } i \mid j. \ \ \) \ ¿Cuántas sucesiones consistentes hay si $n = 12$ y $a_6 = 3$?

Para $n$ natural con $n \geq 2$ sea $b_n = \frac{n^3 - 1}{n^3 + 1}$. Probar que \\" \\ \\ $b_2 \times b_3 \times b_4 \times \\ldots \times b_{100} = \frac{3367}{5050}$.

En la figura, $ABC$ es un triángulo isósceles con $AB = AC$, $D$ es un punto sobre el segmento $AC$ tal que $BD = BC$; $E$ es un punto sobre la recta $BC$ tal que $CD = CE$ y $F$ es el punto de intersección de las rectas $DE$ y $AB$. Demostrar que $BF = BC$.

En la figura de la izquierda se muestra un triángulo con $\bullet$ en el centro, rodeado por 3 niveles de triángulos. Se construye una figura como la mostrada pero con 7 niveles (en lugar de 3). ¿De cuántas maneras es posible escoger una sucesión de triángulos que empiece en $\bullet$ y termine con un triángulo que tenga un lado sobre la orilla, si la sucesión debe escogerse de tal manera que cada dos triángulos sucesivos en la sucesión tengan un lado en común, que no repita triángulos y que en ningún momento regrese a un nivel anterior? (Por ejemplo, en la figura de la derecha se muestra una posible sucesión de triángulos en el caso de 3 niveles).

Una figura como la que se muestra a la derecha estaba formada por bolitas $\bullet$ y palitos \ uniendo las bolitas. Estaba colgada por la bolita con número 1, pero se desprendieron algunos palitos (que podrían ser cualquier cantidad entre 0 y el total) de manera que todo lo que estaba abajo de los respectivos palitos se cayó. ¿De cuántas maneras distintas puede haber quedado la figura? (Nota: Abajo se muestran 5 posibilidades diferentes).

Sea $ABC$ un triángulo equilátero. Llamemos cuerda a cualquier segmento que tenga extremos en dos de los lados de $ABC$ y que sea paralelo al otro lado. Encontrar el menor $n$ tal que si se dibujan $n$ cuerdas paralelas a cada lado del triángulo, entonces el número de puntos de intersección de las cuerdas sea exactamente $180$.