3 Halle todos los enteros positivos $ n$ con las siguientes propiedades: en coordenadas cartesianas bidimensionales, existe un polígono reticular convexo de $ n$ lados cuyas longitudes de todos los lados son números impares, y diferentes entre sí. (donde polígono reticular se define como un polígono cuyas coordenadas de todos los vértices son enteros en coordenadas cartesianas.) Fang-jh

1 Los puntos $ A$ y $ B$ se encuentran sobre la circunferencia con centro $ O.$ Sea $ C$ un punto fuera de la circunferencia; sean $ CS$ y $ CT$ tangentes a la circunferencia. Sea $ M$ el punto medio del arco menor $ AB$ de $ (O).$ $ MS,\,MT$ intersecan a $ AB$ en los puntos $ E,\,F$ , respectivamente. Las rectas que pasan por $ E,\,F$ perpendiculares a $ AB$ cortan a $ OS,\,OT$ en $ X$ y $ Y$ , respectivamente. Una recta que pasa por $ C$ interseca a la circunferencia $ (O)$ en $ P,\,Q$ ( $ P$ se encuentra sobre el segmento $ CQ$ ) . Sea $ R$ la intersección de $ MP$ y $ AB,$ y sea $ Z$ el circuncentro del triángulo $ PQR.$ Demuestre que: $ X,\,Y,\,Z$ son colineales.

2 Un número racional $ x$ se llama bueno si satisface: $ x=\frac{p}{q}>1$ con $ p$ , $ q$ enteros positivos, $ \gcd (p,q)=1$ y existen números constantes $ \alpha$ , $ N$ tales que, para cualquier entero $ n\geq N$ , \[ |\{x^n\}-\alpha|\leq\dfrac{1}{2(p+q)}\] Halle todos los números buenos.

3 Hay $ 63$ puntos arbitrarios sobre la circunferencia $ \mathcal{C}$ cuyo diámetro es $ 20$ . Sea $ S$ el número de triángulos cuyos vértices son tres de los $ 63$ puntos y la longitud de sus lados no es menor que $ 9$ . Halle el máximo de $ S$ .

1 Halle todas las funciones $ f: \mathbb{Q}^{+} \mapsto \mathbb{Q}^{+}$ tales que: \[ f(x) + f(y) + 2xy f(xy) = \frac {f(xy)}{f(x+y)}.\]

5 Determine todas las ternas de cifras decimales no nulas $(x,y,z)$ para las cuales la igualdad $\sqrt{ \underbrace{xxx...x}_{2n}- \underbrace{yy...y}_{n}}= \underbrace{zzz...z}_{n}$ se cumple para al menos dos números naturales distintos $n$ .

2 Sean $ x_1, \ldots, x_n$ números reales con $ n>1$ que satisfacen $ A=\left |\sum^n_{i=1}x_i\right |\not =0$ y $ B=\max_{1\leq i<j\leq n}|x_j-x_i|\not =0$. Demuestre que, para cualesquiera $ n$ vectores $ \vec{\alpha_i}$ del plano, existe una permutación $ (k_1, \ldots, k_n)$ de los números $ (1, \ldots, n)$ tal que \[ \left |\sum_{i=1}^nx_{k_i}\vec{\alpha_i}\right | \geq \dfrac{AB}{2A+B}\max_{1\leq i\leq n}|\alpha_i|.\]

3 Sea $ n$ un entero positivo y sea $ A$ un subconjunto de $ \{1, 2, \cdots, n\}$ tal que, para cualesquiera dos números $ x, y\in A$, el mínimo común múltiplo de $ x$ y $ y$ no sea mayor que $ n$. Demuestre que $ |A|\leq 1.9\sqrt {n} + 5$.

1 Cuando todos los ángulos de los vértices de un polígono convexo son iguales, se dice que el polígono es equiángulo. Demuestre que $ p > 2$ es un número primo si y solo si, cuando las longitudes de todos los lados de un polígono $ p$ equiángulo son números racionales, dicho polígono es un polígono $ p$ regular. Fang-jh

2 Sea $ I$ el incentro del triángulo $ ABC.$ Sean $ M,N$ los puntos medios de $ AB,AC,$ respectivamente. Los puntos $ D,E$ se encuentran sobre $ AB,AC$ respectivamente, tales que $ BD=CE=BC.$ La recta perpendicular a $ IM$ que pasa por $ D$ corta a la recta perpendicular a $ IN$ que pasa por $ E$ en $ P.$ Demuestre que $ AP\perp BC.$ Fang-jh