¿De cuántas formas distintas se puede construir una figura como la que se muestra abajo a la izquierda usando fichas como las dos que se muestran al centro de la figura? [Nota: Las fichas se pueden girar o voltear como se desee. En la figura, a la derecha, se muestra una forma de construirla.] [image]

Encontrar los números $a, b \text {y} c$ que resuelven el siguiente sistema de ecuaciones: $$ (a + b)(a + b + c) = 0 $$ $$ (b + c)(a + b + c) = 190 $$ $$ (a + c)(a + b + c) = 532 $$

En la figura, $AD$ y $BC$ son paralelas, $CD$ mide 9, $AB$ mide 8 y $M$ es el punto medio de $AB$. Demostrar que si $ABCD$ tiene perímetro 26, entonces $DM$ y $MC$ son perpendiculares. [image]

¿Cuántas sucesiones aritméticas empiezan con 38, terminan en 2018 y pasan por 1424? (Nota. Una sucesión aritmética es una sucesión $(a_1, a_2, \\ldots, a_n)$ en la que la diferencia de cualesquiera dos términos consecutivos es la misma constante; por ejemplo $5, 8, 11, 14, 17, 20$ es una sucesión aritmética que empieza en $5$, termina en $20$ y la diferencia entre términos consecutivos es $3$. En el problema, $a_1 = 38$, $a_n = 2018$ y algún término intermedio $a_i$ debe ser igual a $1424.)

En la figura se muestra un círculo $C$ con centro $O$; $A$ y $B$ son los puntos de tangencia de las rectas por $P$ a $C$; $X$ y $Y$ son puntos de $AP$ y $BP$, respectivamente, tales que $\angle XOY = \angle AOP$. Probar que $XY$ es tangente a $C$. [image]

En un torneo hay $8$ equipos. Cada pareja de equipos se enfrenta una vez y no hay posibilidad de empate. El puntaje final de cada equipo es el número de partidos que gana en el torneo. Sea $k$ el máximo número de equipos que terminan con el mismo puntaje. Determinar el mínimo y el máximo valor posibles para $k$.

En el panal de la figura de la derecha, una abeja quiere hacer un recorrido por los hexágonos cumpliendo las siguientes 4 condiciones: a) El recorrido no debe repetir hexágonos. b) Dos hexágonos consecutivos del recorrido deben compartir una arista. c) El recorrido debe empezar y terminar en el mismo lugar. d) El recorrido no debe usar tres hexágonos adyacentes que formen un triángulo (aunque no sean consecutivos en el recorrido). ¿De cuántas formas puede hacer el recorrido si dos recorridos se consideran iguales cuando usan los mismos hexágonos (aunque inicien en distinto lugar o vayan en sentido contrario)? [image]

Probar que es imposible hacer un recorrido siguiendo las flechas de la figura de manera que se empiece y termine en el hexágono sombreado y que pase exactamente una vez por cada uno de los hexágonos. [image]

Sea $C_1$ una circunferencia de diámetro $AO$ y sea $C_2$ la circunferencia de centro $O$ y radio $AO$. Sea $P$ un punto sobre la circunferencia $C_1$ (distinto de $A$ y $O$) tal que $|PO| < |AP|$. Sea $T$ la intersección de la recta $AP$ con la circunferencia $C_2$ ($T$ y $A$ puntos distintos). Sea $Q$ la intersección de $TO$ con $C_1$ ($Q$ y $O$ puntos distintos). Sea $R$ la intersección de $AQ$ con $PO$. Demostrar que $R$ está sobre $C_2$ si, y sólo si, $ angle PAO = 30^ ext{o}$.

Encontrar todas las ternas de primos $(p, q, r)$ (no necesariamente distintos), tales que $\frac{p}{q+r} + \frac{q}{p+r} = 1$.