3 Para cualquier primo impar $p$ y cualquier entero $n,$ sea $d_p (n) \in \{ 0,1, \dots, p-1 \}$ el resto cuando $n$ se divide por $p.$ Decimos que $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ es una p-sucesión , si $a_0$ es un entero positivo coprimo con $p,$ y $a_{n+1} =a_n + d_p (a_n)$ para $n \geqslant 0.$ (a) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_n >b_n$ para infinitos $n,$ y $b_n > a_n$ para infinitos $n?$ (b) ¿Existen infinitos primos $p$ para los cuales existen $p$ - sucesiones $(a_0, a_1, a_2, \dots)$ y $(b_0, b_1, b_2, \dots)$ tales que $a_0 <b_0,$ pero $a_n >b_n$ para todo $n \geqslant 1?$ United Kingdom

1 Sea $n$ un entero positivo. Halle el número de permutaciones $a_1$ , $a_2$ , $\dots a_n$ de la sucesión $1$ , $2$ , $\dots$ , $n$ que satisfacen $$a_1 \le 2a_2\le 3a_3 \le \dots \le na_n$$ . Propuesto por United Kingdom

2 Sea $ABC$ un triángulo isósceles con $BC=CA$ , y sea $D$ un punto del interior del lado $AB$ tal que $AD< DB$ . Sean $P$ y $Q$ dos puntos del interior de los lados $BC$ y $CA$ , respectivamente, tales que $\angle DPB = \angle DQA = 90^{\circ}$ . Sea la mediatriz de $PQ$ que corta al segmento $CQ$ en $E$ , y las circunferencias circunscritas de los triángulos $ABC$ y $CPQ$ se cortan nuevamente en el punto $F$ , distinto de $C$ . Suponga que $P$ , $E$ , $F$ son colineales. Demuestre que $\angle ACB = 90^{\circ}$ .

3 Para cada primo $p$ , construya un grafo $G_p$ sobre $\{1,2,\ldots p\}$ , donde $m\neq n$ son adyacentes si y solo si $p$ divide a $(m^{2} + 1-n)(n^{2} + 1-m)$ . Demuestre que $G_p$ es disconexo para infinitos $p$

1 En el tablero hay un número natural mayor que $1$ . En cada paso, Igor escribe el número $n +\frac{n}{p}$ en lugar del número $n$ en el tablero , donde $p$ es algún divisor primo de $n$ . Demuestre que si Igor continúa reescribiendo el número infinitas veces, entonces elegirá infinitas veces el número $3$ como divisor primo de $p$ . redacción original На доске записано какое-то натуральное число, большее 1. На каждом шагу Игорь переписывает имеющееся на доске число n на число n +n/p, где p - это какой-нибудь простой делитель числа n. Доказать, что если Игорь будет продолжать переписывать число бесконечно долго, то он бесконечно много раз выберет в качестве простого делителя p число 3.

3 En el plano, hay $n \geqslant 6$ discos disjuntos por pares $D_{1}, D_{2}, \ldots, D_{n}$ con radios $R_{1} \geqslant R_{2} \geqslant \ldots \geqslant R_{n}$ . Para cada $i=1,2, \ldots, n$ , se elige un punto $P_{i}$ en el disco $D_{i}$ . Sea $O$ un punto arbitrario del plano. Demuestre que \[O P_{1}+O P_{2}+\ldots+O P_{n} \geqslant R_{6}+R_{7}+\ldots+R_{n}.\] (Se supone que un disco contiene su borde.)

1 Sea $ABC$ un triángulo. La circunferencia $\Gamma$ pasa por $A$ , corta a los segmentos $AB$ y $AC$ nuevamente en los puntos $D$ y $E$ respectivamente, e interseca al segmento $BC$ en $F$ y $G$ tal que $F$ se encuentra entre $B$ y $G$ . La tangente a la circunferencia $BDF$ en $F$ y la tangente a la circunferencia $CEG$ en $G$ se cortan en el punto $T$ . Suponga que los puntos $A$ y $T$ son distintos. Demuestre que la recta $AT$ es paralela a $BC$ . (Nigeria)

2 Hay 2020 habitantes en un pueblo. Antes de Navidad, todos están felices; pero si un habitante no recibe ninguna tarjeta navideña de ningún otro habitante, se pondrá triste. Desafortunadamente, solo hay una empresa de correos que ofrece un único tipo de servicio: antes de Navidad, cada habitante puede designar a dos habitantes distintos, entre los cuales la empresa elige a uno al que enviarle una tarjeta navideña en nombre de ese habitante. Se sabe que la empresa toma las decisiones de tal manera que tantos habitantes como sea posible se pongan tristes. Halle el menor número posible de habitantes que se pondrán tristes.

3 Halle todas las funciones $f :R \to R$ tales que para todos los números reales $x$ y $y$ $$f(x^3+y^3)=f(x^3)+3x^3f(x)f(y)+3f(x)(f(y))^2+y^6f(y)$$

1 Para todo entero positivo $x$ , sea $k(x)$ el número de números compuestos que no superan a $x$ . Halle todos los enteros positivos $n$ para los cuales $(k (n))! $ mcm $(1, 2,..., n)> (n - 1) !$ .