4 Una hormiga decide caminar por el perímetro de un triángulo \(ABC\). La hormiga puede comenzar en cualquier vértice. Cada vez que la hormiga está en un vértice, elige uno de los vértices adyacentes y camina directamente (en línea recta) hacia el vértice elegido. a) ¿De cuántas maneras puede la hormiga caminar alrededor de cada vértice exactamente dos veces? b) ¿De cuántas maneras puede la hormiga caminar alrededor de cada vértice exactamente tres veces? Nota: Para cada inciso, considera que el vértice inicial es visitado.

Los jugadores $A$ y $B$ juegan el siguiente juego: un jugador escribe, en un tablero, un entero positivo $n$; después, borran un número del tablero y escriben un número nuevo, donde puede ser: i) El último número $p$, donde el nuevo número será $p - 2^k$ donde $k$ es el mayor número tal que $p\ge 2^k$ ii) El último número $p$, donde el nuevo número será $\frac{p}{2}$ si $p$ es par. Los jugadores juegan alternadamente, un jugador gana si el nuevo número es igual a $0$ y el jugador $A$ empieza. a) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 40$? b) ¿Qué jugador tiene la estrategia ganadora con $n = 2012$?

a) Notemos que, como $ABCD$ está inscrito en una circunferencia con centro $O$, los triángulos $AOB$ y $COD$ son isósceles con lados iguales al radio $R$ de la circunferencia. Además, como las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares, el ángulo central $\angle AOB$ y el ángulo central $\angle COD$ son suplementarios (suman $180^\circ$), porque los arcos correspondientes a cuerdas perpendiculares se complementan. El área de un triángulo con dos lados iguales $R$ y ángulo entre ellos $\theta$ es $\frac{1}{2}R^2 \sin\theta$. Como $\sin(180^\circ - \theta) = \sin\theta$, se sigue que \[ [ AOB ] = \frac{1}{2}R^2 \sin(\angle AOB) = \frac{1}{2}R^2 \sin(\angle COD) = [COD]. \] Por lo tanto, los triángulos $AOB$ y $COD$ tienen áreas iguales. b) Para hallar el área de la región sombreada, primero calculamos el área de los cuatro semicírculos construidos sobre los lados del cuadrilátero y luego restamos el área del cuadrilátero. El área total de los semicírculos es \[ \frac{\pi}{2} \left( \frac{AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2}{4} \right) = \frac{\pi}{8}(AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2). \] Por el teorema de Pitágoras aplicado a las diagonales perpendiculares, se tiene que \[ AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = AC^2 + BD^2. \] Esto se debe a que, si las diagonales se cortan en $P$, entonces \[ AB^2 = AP^2 + BP^2,\quad BC^2 = BP^2 + CP^2,\quad CD^2 = CP^2 + DP^2,\quad DA^2 = DP^2 + AP^2, \] y sumando se obtiene $2(AP^2 + BP^2 + CP^2 + DP^2) = AC^2 + BD^2$ (ya que $AC = AP + PC$ y $BD = BP + PD$). Entonces, \[ AB^2 + BC^2 + CD^2 + DA^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100. \] Por lo tanto, el área de los cuatro semicírculos es \[ \frac{\pi}{8} \cdot 100 = \frac{25\pi}{2}. \] El área del cuadrilátero $ABCD$ con diagonales perpendiculares es \[ \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 6 = 24. \] La región sombreada es la suma de los semicírculos menos el área del cuadrilátero (ya que los semicírculos se construyen externamente y la parte que queda dentro del cuadrilátero se superpone con él). Así, \[ \text{Área sombreada} = \frac{25\pi}{2} - 24. \] Por lo tanto, el área de la región sombreada es \[ \boxed{\frac{25\pi}{2} - 24 \text{ cm}^2}. \]

Las funciones $f$ y $g$ están definidas sobre el conjunto de todos los enteros en el intervalo $[-100; 100]$ y toman valores enteros. Demuestra que para algún entero $k$ el número de soluciones de la ecuación $f(x)-g(y)=k$ es impar. (A. Golovanov)

$ABCD$ es un cuadrilátero cíclico tal que las diagonales $AC$ y $BD$ son perpendiculares y su intersección es $P$. El punto $Q$ en el segmento $CP$ es tal que $CQ=AP$. Demuestra que el perímetro del triángulo $BDQ$ es al menos $2AC$. Tuymaada 2017 Q2 Juniors

3 En un país, cada 2 ciudades están conectadas ya sea por una ruta de autobús directa o por un vuelo directo. Un *clique* es un conjunto de ciudades tal que cada 2 ciudades del conjunto están conectadas por un vuelo directo. Un *cluque* es un conjunto de ciudades tal que cada 2 ciudades del conjunto están conectadas por un vuelo directo, y cada 2 ciudades del conjunto están conectadas al mismo número de ciudades por una ruta de autobús. Un *claque* es un conjunto de ciudades tal que cada 2 ciudades del conjunto están conectadas por un vuelo directo, y cada 2 números de rutas de autobús desde una ciudad del conjunto son diferentes. Demuestra que el número de ciudades de cualquier clique es a lo más el producto del mayor número posible de ciudades en un cluque y el mayor número posible de ciudades en un claque. Tuymaada 2017 Q3 Juniors

4 Un triángulo rectángulo tiene todos sus lados números racionales y el área $S $ . Demuestra que existe un triángulo rectángulo, diferente del original, tal que todos sus lados son números racionales y su área es $S $ . Tuymaada 2017 Q4 Juniors

8 Se dan dos puntos $A$ y $B$ en el plano. Un punto $X$ se llama su punto medio preposteroso si existe un sistema de coordenadas cartesianas en el plano tal que las coordenadas de $A$ y $B$ en este sistema son no negativas, la abscisa de $X$ es la media geométrica de las abscisas de $A$ y $B$, y la ordenada de $X$ es la media geométrica de las ordenadas de $A$ y $B$. Encuentra el lugar geométrico de todos los puntos medios preposterosos de $A$ y $B$. (K. Tyschu)

1 Sean $T_1, T_2, T_3, T_4$ puntos colineales distintos por pares tales que $T_2$ está entre $T_1$ y $T_3$, y $T_3$ está entre $T_2$ y $T_4$. Sea $\omega_1$ una circunferencia que pasa por $T_1$ y $T_4$; sea $\omega_2$ la circunferencia que pasa por $T_2$ y es tangente internamente a $\omega_1$ en $T_1$; sea $\omega_3$ la circunferencia que pasa por $T_3$ y es tangente externamente a $\omega_2$ en $T_2$; y sea $\omega_4$ la circunferencia que pasa por $T_4$ y es tangente externamente a $\omega_3$ en $T_3$. Una recta corta a $\omega_1$ en $P$ y $W$, a $\omega_2$ en $Q$ y $R$, a $\omega_3$ en $S$ y $T$, y a $\omega_4$ en $U$ y $V$, siendo el orden de estos puntos a lo largo de la recta $P,Q,R,S,T,U,V,W$. Demuestra que $PQ + TU = RS + VW$. Geza Kos, Hungría

Los números $1, 2, 3, \dots, 1024$ están escritos en un pizarrón. Se dividen en pares. Luego, cada par se borra del pizarrón y en su lugar se escribe la diferencia no negativa de sus números. Los $512$ números obtenidos de esta manera se dividen en pares y así sucesivamente. Después de diez operaciones de este tipo, queda un número en el pizarrón. Determina todos sus valores posibles. Propuesto por A. Golovanov