N2 Demuestra que para cada entero positivo $k$ existe una base $b$ junto con $k$ ternas de números de Fibonacci $(F_u,F_v,F_w)$ tales que al escribirlos en base $b$, su concatenación también es un número de Fibonacci escrito en base $b$. (Los números de Fibonacci se definen por $F_1 = F_2 = 1$ y $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ para todo entero positivo $n$.) Propuesto por Serbia

1 Sean $n$ y $p$ dos enteros con $p$ primo positivo, tales que $pn + 1$ es un cuadrado perfecto. Demuestra que $n + 1$ es la suma de $p$ cuadrados perfectos, no necesariamente distintos.

2 En un círculo de centro $O$ y radio $r$, se inscribe un triángulo $ABC$ de ortocentro $H$. Se considera un triángulo $A'B'C'$ cuyos lados tienen por longitud las medidas de los segmentos $AB$, $CH$ y $2r$. Determina el triángulo $ABC$ para que el área del triángulo $A'B'C'$ sea máxima.

3 Dado un tetraedro regular de arista \(a\), sus aristas se dividen en \(n\) segmentos iguales, obteniéndose así \(n + 1\) puntos: \(2\) en los extremos y \(n - 1\) en el interior. Se considera el siguiente conjunto de planos: \(\bullet\) los que contienen las caras del tetraedro, y \(\bullet\) cada uno de los planos paralelos a una cara del tetraedro y que contienen al menos uno de los puntos determinados anteriormente. Ahora se consideran todos aquellos puntos \(P\) que pertenecen (simultáneamente) a cuatro planos de ese conjunto. Determina el menor número natural positivo \(n\) tal que entre esos puntos \(P\) se puedan elegir los ocho vértices de un paralelepípedo rectangular de base cuadrada.

2 $\boxed{\text{A2}}$ Demuestra que para todos los reales positivos $a,b,c$ se cumple que $\frac{a^2-bc}{2a^2+bc}+\frac{b^2-ca}{2b^2+ca}+\frac{c^2-ab}{2c^2+ab}\leq 0$

5 Considera $2n$ puntos en el plano. Dos jugadores $A$ y $B$ eligen alternadamente un punto en cada turno. Después de $2n$ turnos, no quedan puntos por elegir y el juego termina. Suma todas las distancias entre los puntos elegidos por $A$ y suma todas las distancias entre los puntos elegidos por $B$. El que tenga la suma más alta gana. Si $A$ comienza el juego, describe la estrategia del ganador. Aclaración: Considera que todas las sumas parciales de distancias entre puntos dan números diferentes.

Un polígono convexo con \(2n\) lados se llama rómbico si sus lados son iguales y todos los pares de lados opuestos son paralelos. Un polígono rómbico se puede dividir en cuadriláteros rómbicos. ¿Para qué valor de \(n\) un polígono rómbico de \(2n\) lados se divide en \(666\) cuadriláteros rómbicos?

3 Sea $A$ un conjunto de enteros positivos que contiene al número $1$ y al menos un elemento más. Dado que para cualesquiera dos elementos distintos $m, n$ de $A$ el número $\frac{m+1}{(m+1,n+1)}$ también es un elemento de $A$, demuestra que $A$ coincide con el conjunto de los enteros positivos.

1 Demuestra que para $a, b, c \in [0;1]$ , $$(1-a)(1+ab)(1+ac)(1-abc) \leq (1+a)(1-ab)(1-ac)(1+abc).$$

2 Serge y Tanya quieren mostrarle a Masha un truco de magia. Serge sale de la habitación. Masha escribe una sucesión $(a_1, a_2, \ldots , a_n)$, donde todos los $a_k$ son iguales a $0$ o $1$. Después Tanya escribe una sucesión $(b_1, b_2, \ldots , b_n)$, donde todos los $b_k$ también son iguales a $0$ o $1$. Luego Masha o no hace nada o dice "Mutabor" y reemplaza ambas sucesiones: la suya por $(a_n, a_{n-1}, \ldots , a_1)$, y la de Tanya por $(1 - b_n, 1 - b_{n-1}, \ldots , 1 - b_1)$. La sucesión de Masha queda cubierta con una servilleta, y Serge es invitado a la habitación. Serge debe mirar la sucesión de Tanya y decir la sucesión cubierta por la servilleta. ¿Para qué $n$ pueden Serge y Tanya preparar y mostrar tal truco? Serge no tiene que determinar si se pronunció la palabra "Mutabor".