Con 125 cubitos de lado 1 se forma un cubo grande de lado 5. Muestra una manera de poner en cada cubito un número entero de tal forma que todas las sumas por filas (ve la descripción aquí abajo) sean iguales pero no todos los 125 números sean iguales. Aclaraciones: (a) Vas a escribir 125 números en total. Puedes repetir números, pero entre los 125 debe haber al menos dos distintos. (b) Se considera fila cualquier hilera de 5 cubitos alineados que lleve una dirección paralela a alguno de los lados del cubo. En otras palabras, hay en total 75 filas; 25 de ellas llevan la dirección adelante-atrás, otras 25 van en dirección izquierda-derecha y otras 25 llevan dirección arriba-abajo. En la figura se ilustra una fila en dirección izquierda-derecha. (c) Escribe tu respuesta poniendo 5 cuadrículas de $5 \times 5$ de manera que cada cuadrícula represente un “piso” del cubo. [image]

Determinar el mínimo número de colores necesario para pintar las diagonales de un polígono regular de $2022$ lados si se necesita que cuando dos diagonales se intersecten en un punto interior al polígono, las dos diagonales tengan distinto color. (Nota: Llamamos diagonal de un polígono al segmento que une cualesquiera dos vértices del polígono que no pertenecen al mismo lado.)

En una cuadrícula de $m \times n$ con $m, n \geq 3$, el número de cuadritos que tienen exactamente 3 cuadritos vecinos es igual al número de cuadritos que tienen exactamente 4 cuadritos vecinos. ¿Cuántos cuadritos tiene la cuadrícula? (Nota: Decimos que dos cuadritos de la cuadrícula son vecinos cuando comparten un lado.)

En un círculo con centro $O$ se encuentran cinco puntos $A, B, C, D$ y $E$ (ver la figura). Los segmentos $AC$ y $EB$ se intersectan en el punto $P$; los segmentos $BD$ y $EC$ se intersectan en el punto $Q$. Además $PQ$ es paralela a $AD$. Probar que $EO$ es perpendicular a $AD$. [image]

Sea $n$ un natural par. En una cuadrícula de $n \times n$ están alternados los números $1$ y $0$, como se muestra a la derecha para $n = 4$. Una operación permitida consiste en escoger dos cuadros que compartan un lado y cambiar el número que aparece en cada uno de esos dos cuadros como sigue: Si hay $0$, poner $1$; si hay $1$, poner $2$ y, si hay $2$, poner $0$. Se quiere que los cuadros que tienen $1$ originalmente, al final tengan $0$, y viceversa. Encontrar para qué $n$'s es posible lograrlo. Para esos $n$, determinar el mínima cantidad de operaciones necesarias para lograrlo. [image]

En el rectángulo $ABCD$, $P$ es un punto sobre el lado $AB$ tal que $AP = 2PB$. Probar que el área del triángulo sombreado es la quinta parte del área del rectángulo. [image]

En un polígono regular de $8$ lados se quieren numerar los vértices del $1$ al $8$ de forma tal que al moverse en la dirección de las manecillas del reloj los números vayan en orden creciente salvo en exactamente dos lugares. ¿De cuantas formas distintas puede hacerse esta numeración? En el esquema siguiente se muestra un acomodo posible. [image]

Encontrar todas las parejas de enteros positivos $x$ y $y$ tales que $\frac{1}{x} + \frac{3}{y} = \frac{1}{2}$.

En la figura, los cuadrados tienen centros $A$, $B$ y $C$. El punto $P$ es vértice común de los cuadrados con centros $A$ y $B$. Probar que $PC$ y $AB$ son segmentos perpendiculares de la misma longitud.

En el triángulo acutángulo $ABC$, $D$ es el pie de la altura desde $A$. Los puntos $P$ y $Q$ son la intersección del círculo con diámetro $AD$ y los lados $AB$ y $AC$, respectivamente. Probar que el área de $ABC$ es igual a $|PQ| \cdot r$, donde $r$ es el radio del círculo circunscrito a $\Delta ABC$.