En la figura los triángulos $ABC$ y $CDE$ son equiláteros, $C$ es el punto sobre $BD$ tal que $BC = 1$ y $CD = 4$, y $F$ y $G$ son los puntos medios de $BC$ y $CD$, respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo sombreado? [image]

Una cuadrícula de $8 \times 2$ quiere cubrirse con 8 fichas de $2 \times 1$ de manera que todos los cuadritos estén cubiertos (en la figura de abajo puede verse una posible forma de hacerlo). ¿De cuántas maneras puede hacerse esto? [image]

En la figura los puntos $C$, $D$ y $E$ están sobre una circunferencia con centro en $O$; $ABCD$ es un cuadrado y $ABE$ un triángulo equilátero. Si el área del círculo es 1, ¿Cuál es el área de la región sombreada? [image]

En una fiesta cada persona saludó a exactamente otras tres personas. (i) Explica por qué es imposible que a la fiesta hayan asistido exactamente 2001 personas. (ii) Si hubo en total 123 saludos, ¿cuántas personas asistieron a la fiesta?

Se tienen 6 números enteros $A$, $B$, $C$, $D$, $E$ y $F$ que cumplen $C = A \times B$, $D = B \times C$, $E = C \times D$ y $F = D \times E$ (es decir, a partir del tercero, cada uno es el producto de los dos anteriores). Si sabemos que $A = 2$ y que $F = 6 \ 075 \ 000$, determina $B$, $C$, $D$ y $E$.

En la figura, los puntos $A$, $P$, $Q$ y $R$ están sobre la circunferencia con centro $C$; $ABCD$ es un cuadrado; la recta $PR$ pasa por $B$ y $D$; la recta $QR$ pasa por $C$. Determina el ángulo $\angle PQR$. [image]

Para un entero $n \ge 2$, un triángulo equilátero de lado $n$ se divide en $n^2$ triángulos equiláteros de lado 1 como se ilustra en la figura (para $n = 4$). Decimos que dos triangulitos de éstos son vecinos si comparten ya sea un lado o un vértice. Se quiere escribir los números del 1 al $n^2$ en los triangulitos (uno en cada triangulito) de tal manera que números que estén escritos en triangulitos vecinos no tengan el mismo residuo al dividirlos entre 5. ¿Para qué valores de $n$ es esto posible? [image]

Encuentra todos los enteros positivos menores que 2001 que son iguales a tres veces la suma de sus cifras.

El hexágono regular $ABCDEF$ de la figura tiene área 2001 y $P$ es la intersección de las rectas $AF$ y $CE$. Calcula el área del triángulo $AEP$. [image]

Una rueda tiene a su alrededor 128 casillas numeradas en forma consecutiva del 1 al 128. Una pulga va saltando de una casilla a otra siguiendo la siguiente regla: Cuando está sobre la casilla con número $N$ puede saltar únicamente a cualquiera de las dos casillas que están separadas $N$ casillas de esa misma (por ejemplo, cuando está en la casilla 3, sus dos posibilidades de salto son a la casilla 6 o a la casilla 128). Determina todas las casillas donde puede haber iniciado sus saltos la pulga de tal manera que, sin importar cómo haya ido saltando, al terminar su quinto salto se puede asegurar que está en la casilla 128 (tal vez no por primera vez).