N2 Para cada entero no negativo $k$, sea $S(k)$ la suma de los dígitos decimales de $k$. Sean $P(x)$ y $Q(x)$ polinomios con coeficientes enteros no negativos tales que $S(P(n)) = S(Q(n))$ para todo entero no negativo $n$. Demuestra que existe un entero $t$ tal que $P(x) - 10^t Q(x)$ es un polinomio constante.

4 Alice y Bob juegan un juego en un grafo conexo con $2n$ vértices, donde $n\in \mathbb{N}$ y $n>1$. Alice y Bob tienen fichas llamadas A y B respectivamente. Alternan turnos, yendo Alice primero. Alice decide las posiciones iniciales de A y B. En cada movimiento, el jugador cuyo turno es mueve su ficha a un vértice adyacente. El objetivo de Bob es atrapar a Alice, y el de Alice es evitarlo. Nota que las posiciones de A y B son visibles para ambos en todo momento. Suponiendo que ambos juegan de manera óptima, ¿cuál es el número máximo posible de aristas en el grafo si Alice puede evadir a Bob indefinidamente? Propuesto por Shashank Ingalagavi y Vighnesh Sangle

C2 Para enteros positivos $m,n \geq 2$, sea $S_{m,n} = \{(i,j): i \in \{1,2,\ldots,m\}, j\in \{1,2,\ldots,n\}\}$ una cuadrícula de $mn$ puntos reticulares en el plano coordenado. Determina todos los pares $(m,n)$ para los cuales existe un polígono simple $P$ con vértices en $S_{m,n}$ tal que todos los puntos de $S_{m,n}$ están en la frontera de $P$, todos los ángulos interiores de $P$ son $90^{\circ}$ o $270^{\circ}$ y todas las longitudes de los lados de $P$ son $1$ o $3$.

C1 Determina todos los enteros $n \geq 3$ para los cuales existe una configuración de $n$ puntos en el plano, sin tres colineales, que pueda etiquetarse del $1$ al $n$ de dos maneras distintas, de modo que se cumpla la siguiente condición: Para cada terna $(i,j,k)$, $1 \leq i < j < k \leq n$, el triángulo $ijk$ en un etiquetado tenga la misma orientación que el triángulo etiquetado $ijk$ en el otro, excepto para $(i,j,k) = (1,2,3)$.

Fija un entero $n \geq 2$ y sean $a_1, \ldots, a_n$ enteros, con $a_1 = 1$. Sea $$ f(x) = \sum_{m=1}^n a_m m^x. $$ Supón que $f(x) = 0$ para $K$ valores enteros positivos consecutivos de $x$. En términos de $n$, determina el valor máximo posible de $K$.

A1 Determina todos los polinomios $P$ con coeficientes reales que satisfacen la siguiente condición: siempre que $x$ y $y$ sean números reales tales que $P(x)$ y $P(y)$ sean ambos racionales, entonces $P(x + y)$ también lo es.

2 Sea $n \geq 2$ un entero. Hay $n$ números, cada uno comienza en 0. En cada operación, se eligen dos números, el más pequeño aumenta en $1$ y el más grande se vuelve $0$ (si son iguales, uno aumenta $1$ y el otro se vuelve $0$). Este proceso se puede repetir indefinidamente. Encuentra, en función de $n$, el número más grande que puede aparecer en la secuencia.

3 Sea $ABC$ un triángulo con circuncentro $O$ y sea $P$ un punto en el plano. La recta $AP$ interseca la mediatriz de $BC$ en el punto $A'$. Los puntos $B'$ y $C'$ se definen de manera análoga. Supón que $A, B, C, P, A', B', C', O$ son puntos distintos. Demuestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $AA'O$, $BB'O$ y $CC'O$ concurren en un punto distinto de $O$.

4 Sea $ABC$ un triángulo acutángulo escaleno donde $BC$ es el lado más corto. Los puntos $D$ y $E$ están sobre los segmentos $AB$ y $AC$, respectivamente, cumpliendo $AD = DC$ y $AE = EB$. Sean $B'$ y $C'$ los reflejos de $B$ y $C$ respecto a $DE$. Las rectas $AB'$ y $AC'$ cortan a la recta $BC$ en $F$ y $G$, respectivamente. Muestra que las circunferencias circunscritas de los triángulos $ADF$ y $AEG$ son tangentes.

5 Sean $a$, $b$ y $c$ primos mayores que $7$, que son longitudes de los lados de un triángulo que satisfacen $a \mid b^3 - c^3$, $b \mid c^3 - a^3$, $c \mid a^3 - b^3$. Demuestra que $a$, $b$ y $c$ son iguales.