5 Juan escribió un número natural y María le añadió un dígito $ 1$ a la izquierda y un dígito $ 1$ a la derecha. El número de María excede al número de Juan en $14789$ . Halle el número de Juan.

6 La media geométrica de un conjunto de $m$ números no negativos es la raíz $m$ - ésima del producto de estos números. ¿Para qué valores positivos de $n$ existe un conjunto finito $S_n$ de $n$ enteros positivos distintos tal que la media geométrica de cualquier subconjunto de $S_n$ es un entero?

Sea $n \ge 1$ y $x_1, \ldots, x_n \ge 0$ . Demuestre que $$ (x_1 + \frac{x_2}{2} + \ldots + \frac{x_n}{n}) (x_1 + 2x_2 + \ldots + nx_n) \le \frac{(n+1)^2}{4n} (x_1 + x_2 + \ldots + x_n)^2 .$$

Sea $N$ un entero positivo. Considere una cuadrícula de $N \times N$ celdas cuadradas unitarias. Dos celdas de las esquinas que se encuentran sobre la misma diagonal más larga están coloreadas de negro, y el resto de la cuadrícula es blanco. Un movimiento consiste en elegir una fila o una columna y cambiar el color de cada celda de la fila o columna elegida. ¿Cuál es el número mínimo de celdas adicionales que se deben colorear de negro para que, después de un número finito de movimientos, se pueda alcanzar un tablero completamente negro?

Sea $P$ un punto interior de un triángulo $ABC$ tal que $$ \frac{AP + BP}{AB} = \frac{BP + CP}{BC} = \frac{CP + AP}{CA} .$$ Las rectas $AP$ , $BP$ , $CP$ intersecan la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ nuevamente en $A'$ , $B'$ , $C'$ . Demuestre que los triángulos $ABC$ y $A'B'C'$ tienen una circunferencia inscrita común.

Sea $S$ un conjunto de $N \ge 3$ puntos en el plano. Suponga que no hay $3$ puntos de $S$ colineales. Los segmentos con ambos extremos en $S$ se colorean con dos colores. Demuestre que existe un conjunto de $N - 1$ segmentos del mismo color que no se intersecan salvo en sus extremos, tal que ningún subconjunto de ellos forma un polígono de área positiva.

Halle todos los pares $(p,q)$ de números primos tales que $$ p(p^2 - p - 1) = q(2q + 3) .$$

2 Hay lámparas en cada casilla de una tabla de $n\times n$ . Al inicio todas las lámparas están apagadas. Un movimiento consiste en elegir $m$ casillas consecutivas en una fila o en una columna y cambiar el estado de esas $m$ lámparas. Demuestre que se puede alcanzar un estado en el que todas las lámparas estén encendidas solamente si $m$ divide a $n.$

3 Sean $K$ y $L$ los puntos sobre la semicircunferencia con diámetro $AB$ . Denote la intersección de $AK$ y $AL$ como $T$ y sea $N$ el punto tal que $N$ está sobre el segmento $AB$ y la recta $TN$ es perpendicular a $AB$ . Si $U$ es la intersección de la mediatriz de $AB$ y $KL$ y $V$ es un punto sobre $KL$ tal que los ángulos $UAV$ y $UBV$ son iguales. Demuestre que $NV$ es perpendicular a $KL$ .

4 Halle todos los pares de enteros $x,y$ para los cuales \[x^3+x^2+x=y^2+y.\]