6 Sea $n \geq 2$ un número natural. Encuentra una manera de asignar números naturales a los vértices de un $2n$-ágono regular tal que se satisfagan las siguientes condiciones: (1) solo se usan los dígitos $1$ y $2$; (2) cada número consta de exactamente $n$ dígitos; (3) se asignan números distintos a vértices distintos; (4) los números asignados a dos vértices vecinos difieren en exactamente un dígito. Amir

7 Todas las caras del tetraedro $ABCD$ son de ángulos agudos. Toma un punto $X$ en el interior del segmento $AB$, y de manera similar $Y$ en $BC$, $Z$ en $CD$ y $T$ en $AD$. a.) Si $\angle DAB+\angle BCD\ne\angle CDA+\angle ABC$, entonces demuestra que ninguno de los caminos cerrados $XYZTX$ tiene longitud mínima; b.) Si $\angle DAB+\angle BCD=\angle CDA+\angle ABC$, entonces hay infinitos caminos más cortos $XYZTX$, cada uno con longitud $2AC\sin k$, donde $2k=\angle BAC+\angle CAD+\angle DAB$.

8 Determina si existen números reales distintos $a, b, c, t$ para los cuales: (i) la ecuación $ax^2 + btx + c = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_1, x_2,$ (ii) la ecuación $bx^2 + ctx + a = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_2, x_3,$ (iii) la ecuación $cx^2 + atx + b = 0$ tiene dos raíces reales distintas $x_3, x_1.$ Amir

9 Sea $T_k = k - 1$ para $k = 1, 2, 3, 4$ y \[T_{2k-1} = T_{2k-2} + 2^{k-2}, T_{2k} = T_{2k-5} + 2^k \qquad (k \geq 3).\] Demuestra que para todo $k$ , \[1 + T_{2n-1} = \left[ \frac{12}{7}2^{n-1} \right] \quad \text{y} \quad 1 + T_{2n} = \left[ \frac{17}{7}2^{n-1} \right],\] donde $[x]$ denota el mayor entero que no excede a $x.$ Amir

10 Demuestra que podemos encontrar un conjunto infinito de enteros positivos de la forma $2^n-3$ (donde $n$ es un entero positivo) tal que cada par de ellos sean primos relativos.

11 La matriz \[A=\begin{pmatrix} a_{11} & \ldots & a_{1n} \\ \vdots & \ldots & \vdots \\ a_{n1} & \ldots & a_{nn} \end{pmatrix}\] satisface la desigualdad $\sum_{j=1}^n |a_{j1}x_1 + \cdots+ a_{jn}x_n| \leq M$ para cada elección de números $x_i$ iguales a $\pm 1$. Demuestra que \[|a_{11} + a_{22} + \cdots+ a_{nn}| \leq M.\] Amir

12 Se dan dos triángulos equiláteros congruentes $ABC$ y $A'B'C'$ en el plano. Demuestra que los puntos medios de los segmentos $AA', BB', CC'$ o son colineales o forman un triángulo equilátero. Amir

13 Sea $ A = (a_{ij})$, donde $ i,j = 1,2,\ldots,n$, una matriz cuadrada con todos los $ a_{ij}$ enteros no negativos. Para cada $ i,j$ tal que $ a_{ij} = 0$, la suma de los elementos en la $ i$-ésima fila y la $ j$-ésima columna es al menos $ n$. Demuestra que la suma de todos los elementos de la matriz es al menos $ \frac {n^2}{2}$.

14 Una línea quebrada \(A_1A_2 \ldots A_n\) está dibujada en un cuadrado de \(50 \times 50\), de modo que la distancia desde cualquier punto del cuadrado a la línea quebrada es menor que \(1\). Demuestra que su longitud total es mayor que \(1248\). Amir

15 números naturales del $1$ al $99$ (no necesariamente distintos) están escritos en $99$ tarjetas. Se da que la suma de los números en cualquier subconjunto de tarjetas (incluyendo el conjunto de todas las tarjetas) no es divisible por $100$. Demuestra que todas las tarjetas contienen el mismo número. Amir