En el cuadril\'atero $ABCD$ se tiene $\angle BAC = \angle CAD$ y $BC$ es perpendicular a $AB$. Un punto $X$ sobre la diagonal $AC$ es tal que $XD$ es perpendicular a $AD$ y la distancia de $X$ a $B$ es igual a la longitud del lado $BC$. Prueba que $X$ est\'a sobre la diagonal $BD$.

Cinco ni\~nos se dividen en grupos y en cada grupo se toman de la mano formando una rueda para bailar girando. ¿De cu\'antas maneras distintas se pueden distribuir si es v\'alido que haya grupos con cualquier n\'umero de ni\~nos entre 1 y 5 (y puede haber cualquier n\'umero de grupos)? (Nota: En la figura de abajo se da un ejemplo en que los cinco ni\~nos se han numerado y se han dividido en dos grupos, uno con 4 alumnos y otro con 1; la primera distribuci\'on y la segunda se consideran una misma, pero la tercera es distinta de las otras dos.) [image]

Encuentra el entero positivo $A$ que satisface $$A^{2} = 4\cdot2006 + 4\cdot2004 + 4\cdot2002 + \cdots + 4\cdot4 + 4\cdot2 + 1.$$

En la figura se ha dibujado un cuadrado encima de otros tres. ¿Cuál es el área de la región sombreada? [image]

En el tablero de $3 \times 3$ de la figura se va a jugar un juego. Un movimiento permitido consiste en escoger uno de los cuadritos y cambiar de color (negro a blanco, y blanco a negro) todos los que están pegados a él, ya sea en diagonal o compartiendo un lado (el cuadrito elegido no cambia de color). Determinar si es posible, mediante movimientos permitidos, lograr que todos los cuadros de la figura dada queden del mismo color. [image]

En el hexágono regular de la figura, cada lado mide $\sqrt{3}$ y se dibujaron dos cuadrados sobre los lados, como se muestra. (a) Probar que el triángulo $ABC$ es equilátero. (b) Encontrar la medida de los lados de los cuadrados. (c) Probar que el área del triángulo $BCD$ es $\frac{5\sqrt{3}}{4}$. [image]

En una cuadrícula de $12 \times 12$ las líneas de la orilla son continuas y las interiores son punteadas, como se muestra. Luis y Miguel van a jugar un juego sobre el tablero. En su turno Luis escoge alguna línea horizontal punteada y la remarca desde una orilla de la cuadrícula hasta la otra (es decir, hace continua la horizontal completa de longitud 12), después Miguel escoge una línea vertical punteada y la remarca (también toda la línea de longitud 12). Empieza Luis y después van alternando turnos escogiendo siempre líneas todavía punteadas (Luis siempre escoge horizontales y Miguel siempre escoge verticales). Gana el primero que logre formar, con las líneas continuas, un cuadrado de $1 \times 1$. Si los dos jugadores juegan inteligentemente, ¿cuál de ellos puede garantizar que va a ganar, y cómo deberá jugar para asegurar su triunfo? [image]

¿De cuántas formas es posible numerar del 1 al 6 todas las casillas de la figura de manera que no haya un par de casillas vecinas cuya resta sea múltiplo de 3? (Nota: Dos casillas que comparten sólo una esquina no se consideran vecinas.) [image]

Encuentra todas las parejas de primos positivos $p$ y $q$ que satisfacen la siguiente ecuación $p^q + q^p = 2^{p+1} + 1$.

¿Cuántos caminos hay del punto $A$ al punto $B$ siguiendo las líneas de la figura si las direcciones permitidas son $ ightarrow$, $ earrow$, $ warrow$, $ ightarrow$ (es decir, cualquier sentido está permitido salvo $ ightarrow$) y no se permite pasar dos veces por el mismo punto? [image]