¿De cuántas maneras se pueden dibujar flechas entre parejas de puntos en la figura de la derecha si las tres condiciones siguientes deben satisfacerse: Ninguna flecha empieza y termina en el mismo renglón o en la misma columna En cada renglón y en cada columna hay exactamente una flecha que empieza ahí En cada renglón y en cada columna hay exactamente una flecha que termina ahí.

En la figura se muestra un hexágono regular $ABCDEF$ de lado 1. Los arcos de círculo que están dibujados tienen centro en cada vértice del hexágono y radio igual a la distancia al vértice opuesto. $P, Q, R, S, T$ y $U$ son los puntos donde se cortan estos arcos. ¿Cuánto mide cada lado del hexágono $PQRSTU$? [image]

Dado un entero positivo $n$ lo dividimos entre 2 sin considerar decimales; al nuevo número le hacemos lo mismo, y así sucesivamente hasta obtener el número 1. Nos fijamos en cuántos pasos hicimos para llegar a 1. Por ejemplo, si $n = 74$, entonces se necesitan 6 pasos $74 \rightarrow 37 \rightarrow 18 \rightarrow 9 \rightarrow 4 \rightarrow 2 \rightarrow 1$. ¿Cuántos enteros necesitan exactamente 10 pasos?

En el siguiente tablero queremos acomodar los números del 1 al 12 (uno en cada cuadrito, sin repetir), de tal forma que en cada uno de los renglones y en cada una de las columnas la suma de los que aparezcan sea múltiplo de 3. (Nótese que hay 4 renglones y 6 columnas; dos de los renglones y dos de las columnas constan de un solo cuadrito.) Si los números 1 y 2 están en el lugar que se muestra, ¿de cuántas formas podemos hacer la distribución? [image]

En la mesa hay 5 montones de fichas, cada uno con 5 fichas. Dos personas $A$ y $B$ van a jugar un juego por turnos. Empieza $A$. En cada turno el jugador debe retirar el número de fichas que quiera pero sólo de uno de los montones (por lo menos debe retirar una ficha). Pierde el primero que ya no pueda jugar. ¿Cuál de los dos jugadores puede asegurar su triunfo? y ¿cómo debe jugar para lograrlo?

El cuadrado $ABCD$ de la figura tiene lado 1 y $M$ es el punto medio del lado $AB$. ¿Cuál es el área de la región sombreada? [image]

¿De cuántas maneras es posible escoger 4 números enteros distintos entre 1 y 100 tales que $b = a + 1$ y $d = c + 1$?

Para un entero positivo $a$ llamemos $<a>$ al n\'umero que se obtiene multiplicando cada cifra de $a$ por 2 y escribiendo los n\'umeros as\'i obtenidos uno a continuaci\'on de otro. Por ejemplo $<126> = 2412$ y $<809> = 16018$. Probar que no es posible encontrar dos enteros positivos distintos $a$ y $b$ tales que $<a> = <b>$.

El p\'ajaro Piol\'in quiere comerse un pedazo de pan que se encuentra en el centro de un reloj circular y despu\'es de com\'erselo, escapar. Piol\'in debe entrar y salir por donde est\'a el n\'umero 12. Piol\'in s\'olo puede volar de un n\'umero a otro en l\'inea recta con la siguiente regla: En el primer vuelo, avanza en cualquier sentido m\'aximo 1 n\'umero (es decir, se puede ir al $1$, al $11$ o quedarse en el $12$); si en un determinado vuelo avanz\'o $n$ n\'umeros, en el siguiente vuelo puede avanzar $n-1$, $n$ o $n+1$ n\'umeros en cualquier sentido. Por ejemplo, si en un paso vol\'o del $4$ al $7$ (es decir, avanz\'o $3$), en el siguiente puede volar avanzando $2$, $3$ o $4$ n\'umeros para llegar al $9$, $10$ u $11$ si va en el sentido de las manecillas del reloj, o al $3$, $4$ o $5$ si va en el otro sentido (ver la figura). S\'olo puede recoger el pan si pasa por encima de \'el cuando va volando de un n\'umero a otro. ¿Cu\'al es el m\'inimo n\'umero de vuelos que requiere hacer Piol\'in para escapar con el pan? [image]

Cada vez que el mago Merl\'in toca con su varita m\'agica un cuadrito de una cuadr\'icula de $n\times n$, donde $n$ es un entero impar, el color de todos los cuadros que est\'an en cualquiera de las dos diagonales donde est\'a el cuadro que toc\'o cambian de color de blanco a gris y viceversa (tambi\'en el cuadro que toc\'o cambia). Al principio todos los cuadros son blancos. (Por ejemplo, en la figura se ilustra a la izquierda qu\'e pasa si $n=7$ y Merl\'in toca al principio el cuadro $A$, y a la derecha se ilustra lo que pasa si despu\'es de haber tocado $A$ toca $B$.) En un determinado momento Merl\'in logr\'o que todos los cuadros fueran grises. Explica c\'omo pudo haberlo hecho. [image]