6 Algunas casillas de una tabla $n \times n$ ($n>2$) son negras, el resto son blancas. En cada casilla blanca escribimos el número de casillas negras que tienen al menos un vértice en común con ella. Encuentra la suma máxima posible de todos estos números.

G2 Sea $P$ un punto sobre la mediana $AM$ de un triángulo $ABC$ . Suponga que las tangentes a las circunferencias circunscritas de $ABP$ y $ACP$ en $B$ y $C$ respectivamente se cortan en $Q$ . Demuestre que $\angle PAB = \angle CAQ$ .

A1 Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tales que \[f(x(x + f(y))) = (x + y)f(x),\] para todo $x, y \in\mathbb{R}$ .

Sea $k > 1{}$ un número real, $n\geqslant 3$ un entero, y $x_1 \geqslant x_2\geqslant\cdots\geqslant x_n$ números reales positivos. Demuestra que \[\frac{x_1+kx_2}{x_2+x_3}+\frac{x_2+kx_3}{x_3+x_4}+\cdots+\frac{x_n+kx_1}{x_1+x_2}\geqslant\frac{n(k+1)}{2}.\] Ilija Jovcheski

A3 Sean $a, b, c, d$ números reales no negativos tales que \[\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}+\frac{1}{d+1}=3.\] Demuestra que \[3(ab+bc+ca+ad+bd+cd)+\frac{4}{a+b+c+d}\leqslant 5.\] Vasile Cîrtoaje y Leonard Giugiuc

1 Dados $x,y,a\in \mathbb{R}$, $x+y=2a-4 $ y $xy=a^2-3a+5$. ¿Cuál es el valor mínimo de $x^2+y^2$?

A4 Encuentra todas las funciones $f : \mathbb{R} \to\mathbb{R}$ tales que $f(0)\neq 0$ y \[f(f(x)) + f(f(y)) = f(x + y)f(xy),\] para todo $x, y \in\mathbb{R}$ .

A5 Encuentra todas las funciones $f: (0, \infty) \to (0, \infty)$ tales que \begin{align*} f(y(f(x))^3 + x) = x^3f(y) + f(x) \end{align*} para todo $x, y>0$ . Propuesto por Jason Prodromidis, Grecia

Determina todas las funciones \(f : \mathbb{R}^2 \to\mathbb {R}\) para las cuales \[f(A)+f(B)+f(C)+f(D)=0,\] siempre que \(A,B,C,D\) sean los vértices de un cuadrado de lado uno. Ilir Snopce

C1 Hay 100 enteros positivos escritos en un pizarrón. En cada paso, Alex forma 50 fracciones usando cada número escrito en el pizarrón exactamente una vez, las reduce a su forma irreducible, y luego reemplaza los 100 números del pizarrón con los nuevos numeradores y denominadores para crear 100 números nuevos. Encuentra el entero positivo más pequeño $n{}$ tal que, sin importar los valores de los 100 números iniciales, después de $n{}$ pasos Alex pueda lograr que en el pizarrón solo haya números primos relativos entre sí por pares.