57 Las bisectrices de los ángulos $B,C$ de un triángulo $ABC$ intersecan a los lados opuestos en $B', C'$ respectivamente. Demuestre que la recta $B'C'$ interseca al círculo inscrito en dos puntos distintos. Amir

59 Se sabe que $a_{11}, a_{22}$ son números reales, que $x_1, x_2, a_{12}, b_1, b_2$ son números complejos, y que $a_{11}a_{22}=a_{12}\overline{a_{12}}$ (donde $\overline{a_{12}}$ es el conjugado de $a_{12}$ ) . Consideremos el siguiente sistema en $x_1, x_2$ : \[\overline{x_1}(a_{11}x_1 + a_{12}x_2) = b_1,\] \[\overline{x_2}(a_{12}x_1 + a_{22}x_2) = b_2.\] (a) Dé una condición para que el sistema sea consistente. (b) Dé una condición para que $\arg x_1 - \arg x_2 = 98^{\circ}.$ Amir

60 Se sabe que $x = -2272$ , $y = 10^3+10^2c+10b+a$ , y $z = 1$ satisfacen la ecuación $ax + by + cz = 1$ , donde $a, b, c$ son enteros positivos con $a < b < c$ . Halle $y.$ Amir

61 Sea $PQ$ un segmento de longitud constante $\lambda$ tomado sobre el lado $BC$ de un triángulo $ABC$ con el orden $B,P,Q,C$ , y sean las rectas trazadas por $P$ y $Q$ paralelas a los lados laterales, que cortan a $AC$ en $P_1$ y $Q_1$ y a $AB$ en $P_2$ y $Q_2$ respectivamente. Demuestre que la suma de las áreas de los trapecios $PQQ_1P_1$ y $PQQ_2P_2$ es independiente de la posición de $PQ$ sobre $BC.$ Amir

58 Halle, con argumentación, las soluciones enteras de la ecuación \[3z^2 = 2x^3 + 385x^2 + 256x - 58195.\] Amir

65 Las rachas de un número decimal son sus bloques crecientes o decrecientes de dígitos. Así, $024379$ tiene tres rachas : $024, 43$ y $379$ . Determine el número promedio de rachas de un número decimal del conjunto $\{d_1d_2 \cdots d_n | d_k \neq d_{k+1}, k = 1, 2,\cdots, n - 1\}$ , donde $n \geq 2.$ Amir

66 En una fiesta a la que asisten $n$ parejas casadas, cada persona conversa con todos los demás asistentes excepto con su cónyuge. Las conversaciones involucran conjuntos de personas o clanes $C_1, C_2, \cdots, C_k$ con la siguiente propiedad: ninguna pareja pertenece al mismo clan, pero para cualquier otro par de personas existe exactamente un clan al que pertenecen ambos miembros. Demuestre que si $n \geq 4$ , entonces $k \geq 2n$ . Propuesto por Estados Unidos. Amir

67 Si $a, b, c, d$ son números reales tales que $a^2 + b^2 + c^2 + d^2 \leq 1$ , halle el máximo de la expresión \[(a + b)^4 + (a + c)^4 + (a + d)^4 + (b + c)^4 + (b + d)^4 + (c + d)^4.\] Amir

69 Sea $n\ge2$ un entero. Demuestre que si $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le\sqrt{n\over3}$ , entonces $k^2+k+n$ es primo para todos los enteros $k$ tales que $0\le k\le n-2$ . (Problema 6 de la OMI) Formulación original Sea $f(x) = x^2 + x + p$ , $p \in \mathbb N.$ Demuestre que si los números $f(0), f(1), \cdots , f(\sqrt{p\over 3} )$ son primos, entonces todos los números $f(0), f(1), \cdots , f(p - 2)$ son primos. Propuesto por la Unión Soviética. Amir

70 En un triángulo acutángulo $ABC$ la bisectriz interior del ángulo $A$ corta a $BC$ en $L$ y corta nuevamente a la circunferencia circunscrita de $ABC$ en $N$ . Desde $L$ se trazan perpendiculares a $AB$ y $AC$ , con pies $K$ y $M$ respectivamente. Demuestre que el cuadrilátero $AKNM$ y el triángulo $ABC$ tienen áreas iguales. (Problema 2 de la OMI) Propuesto por la Unión Soviética. Amir