4 Dados enteros positivos $k$ , $n$ . Determine el máximo valor de $\lambda$ tal que \[\sum_{t=1}^n\frac{\lfloor x_t\rfloor ^2}{x_t}\ge\lambda\] se cumple para todos los $x_1,$ $x_2,$ $\ldots,$ $x_n>0$ con $x_1+x_2+\cdots+x_n=kn.$ Creado por Yiyan Lin

Un segmento \(AB\) de longitud \(100\) se divide en \(100\) segmentos pequeños de longitud \(1\) mediante \(99\) puntos intermedios. Al extremo \(A\) se le asigna \(0\) y al extremo \(B\) se le asigna \(1\). Gustavo asigna a cada uno de los \(99\) puntos intermedios un \(0\) o un \(1\), a su elección, y luego colorea cada segmento de longitud \(1\) de azul o rojo, respetando la siguiente regla: los segmentos que tienen el mismo número en sus extremos son rojos, y los segmentos que tienen números distintos en sus extremos son azules. Determina si Gustavo puede asignar los \(0\)'s y \(1\)'s para obtener exactamente \(30\) segmentos azules. ¿Y \(35\) segmentos azules? (En cada caso, si la respuesta es sí, muestra una distribución de \(0\)'s y \(1\)'s, y si la respuesta es no, explica por qué).

1 ¿Es cierto que para cualquier entero positivo $n>1$, existe una progresión aritmética infinita $M_n$ de enteros positivos, tal que para cualquier $m \in M_n$, el número $n^m-1$ no es una potencia perfecta (un entero positivo es una potencia perfecta si es de la forma $a^b$ para enteros positivos $a, b>1$)?

2 Dado un triángulo \(ABC\) y los puntos \(M, P\) que se encuentran en los segmentos \(AB, BC\), respectivamente, tales que \(AM=BC\) y \(CP=BM\). Si \(AP\) y \(CM\) se intersectan en \(O\) y \(2\angle AOM=\angle ABC\), encuentra la medida de \(\angle ABC\).

3 Encuentra todas las funciones \( f:\mathbb {R}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+} \) tales que \[ f(af(b)+a)(f(bf(a))+a)=1 \] para cualesquiera reales positivos \( a, b \).

4 ¿Existen $2024$ reales no nulos $a_1, a_2, \ldots, a_{2024}$ tales que $$\sum_{i=1}^{2024}(a_i^2+\frac{1}{a_i^2})+2\sum_{i=1}^{2024} \frac{a_i} {a_{i+1}}+2024=2\sum_{i=1}^{2024}(a_i+\frac{1}{a_i})?$$

5 Sea $\mathcal{F}$ una familia de subconjuntos de $4$ elementos de un conjunto de tamaño $5^m$, donde $m$ es un entero positivo fijo. Si la intersección de cualesquiera dos conjuntos en $\mathcal{F}$ no tiene tamaño exactamente $2$, encuentra el valor máximo de $|\mathcal{F}|$.

Dado un triángulo \(ABC\) y una circunferencia \(\omega\) con centro \(I\) que es tangente a \(AB\), \(AC\) y corta a \(BC\) en \(X, Y\). La recta que pasa por \(I\) perpendicular a \(BC\) se encuentra con la recta que pasa por \(A\) paralela a \(BC\) en \(Z\). Demuestra que las circunferencias circunscritas de \(\triangle XYZ\) y \(\triangle ABC\) son tangentes entre sí.

2 Sea $H$ el ortocentro del triángulo $ABC$, y sea $M$ el punto medio de $BC$. Sea $X$ la intersección de la recta $HM$ con la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$ en el arco $BC$ que no contiene a $A$. Sea $Y$ la intersección de la recta $BH$ con la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$. Demuestra que $XY = BC$.

2 El punto ${P}$ está fuera del círculo ${\Omega}$ . Dos rectas tangentes trazadas desde el punto ${P}$ tocan el círculo ${\Omega}$ en los puntos ${A}$ y ${B}$ . La mediana ${AM \left(M\in BP\right)}$ interseca al círculo ${\Omega}$ en el punto ${C}$ y la recta ${PC}$ interseca nuevamente al círculo ${\Omega}$ en el punto ${D}$ . Demuestre que las rectas ${AD}$ y ${BP}$ son paralelas. (Moldavia)