El cuadrado $ABCD$ tiene lados de longitud 2; $E$ y $F$ son los puntos medios de los lados $AB$ y $AD$, respectivamente, y $G$ es un punto en $CF$ tal que $3GC = 2GF$ (ver la figura). ¿Cuál es el área del triángulo $BEG$? [image]

Determinar todas las parejas de enteros positivos $(a,b)$ que cumplan: $a + b + ab = 134$ y $a \leq b$.

En la mesa hay tres montones de piedras. El montón A tiene 52 piedras, el montón B tiene 40 y el montón C tiene 1. En cada momento Esteban puede hacer uno de los siguientes movimientos: *Quitar 5 piedras de A y ponérselas a B *Quitar 4 piedras de B y ponérselas a C *Quitar 3 piedras de A y ponérselas a C. ¿Cuántos movimientos necesita hacer Esteban para lograr que en todos los montones haya el mismo número de piedras?

Se tienen 2012 tarjetas numeradas del 1 al 2012, en orden, en una línea. Se van recogiendo algunas cartas en forma alternada como sigue: Se recoge la 1 y se deja la 2 en la fila, se recoge la 3 y se deja la 4 en la fila, etc. Luego se vuelve a comenzar con las cartas que quedan en la fila, así que se recoge la 2 y se deja la 4, se recoge la 6 y se deja la 8 y así sucesivamente. Cuando se llega al final de la fila, se vuelve a empezar. ¿Cuántas cartas quedan en la fila en el momento que se recoge la carta 2012? (Por ejemplo, si sólo hubiera cartas de la 1 a la 6 y se preguntara por cuántas cartas quedan al recoger la carta 6, la respuesta sería 1 pues se habrán recogido, en orden, las cartas con números 1, 3, 5, 2 y 6 así que sólo quedaría la 4.)

A una cena llegan 3 parejas. Se quieren sentar en una mesa redonda de manera que nadie quede junto a su pareja. ¿De cuántas maneras se pueden acomodar si Adela ya tiene un lugar asignado fijo?

¿De cuántas maneras es posible acomodar los números del $1$ al $10$ de manera que del primero al séptimo vayan creciendo, que el séptimo sea mayor que el octavo, y que del octavo al décimo vayan creciendo otra vez? (Por ejemplo, una posibilidad es $1,2,3,5,6,8,10,4,7,9$.)

Un rectángulo de lados enteros $ABCD$ y área $756$ se parte en tres rectángulos de lados enteros: $AFHG$, $FBIH$ y $GICD$ como se muestra en la figura, y de manera que el área de $FBIH$ es el triple que la de $AFHG$ y el área de $GICD$ es 5 veces el área de $AFHG$. Determinar todas las posibilidades para la longitud de $AD$.

¿Cuántos elementos a lo más podemos escoger dentro del conjunto $ extbraceleft 1,2,3,...,20 extbraceright$ si no queremos que la suma de dos los números escogidos sea múltiplo de un número al cuadrado mayor que $1$?

Sean $K_A$ y $K_B$ circunferencias del mismo radio con centros $A$ y $B$, respectivamente, y tales que $A$ está en $K_B$. Sea $C$ en $K_A$ tal que la medida $g$ del ángulo $ riangle ABC$ satisfaga $30^ ext{o}< g <60^ ext{o}$. Sobre $K_B$ tómese el punto $D$ (distinto de $A$) para el cual $ riangle CBD = g$ y constrúyase la circunferencia $K_C$ que pasa por $A$ y tiene centro $C$. De $D$ hacia $C$ tráacese una recta hasta que toque a $K_C$ y sea $E$ el punto de intersección. Probar que $ riangle AEC = g$.

La figura representa una telaraña en la que cada segmento mide 1. La araña se encuentra en el centro y quiere llegar a la orilla caminando por los lados de los triángulos y usando sólo 4 segmentos en total. ¿Cuántos caminos distintos puede seguir? [image]