Sea $f(x)$ una función impar sobre $R$ , $f(1)=1$ y $f(\frac{x}{x-1})=xf(x)$ $(\forall x<0)$ . Halle el valor de $f(1)f(\frac{1}{100})+f(\frac{1}{2})f(\frac{1}{99})+f(\frac{1}{3})f(\frac{1}{98})+\cdots +f(\frac{1}{50})f(\frac{1}{51}).$ .

Se da un entero $n > 2$ . Pedro quiere dibujar $n{}$ arcos de longitud $\alpha{}$ de circunferencias máximas sobre una esfera unitaria de modo que no se intersequen entre sí. Demuestre que para todo $\alpha<\pi+2\pi/n$ es posible; para todo $\alpha>\pi+2\pi/n$ es imposible; Ilya Bogdanov

5 Ann y Max juegan un juego en un tablero de $100 \times 100$ . Primero, Ann escribe un entero del 1 al 10 000 en cada casilla del tablero de modo que cada número se use exactamente una vez. Luego Max elige una casilla en la columna más a la izquierda y coloca una ficha en esa casilla. Hace una serie de movimientos para llegar a la columna más a la derecha. En cada movimiento, la ficha se mueve a una casilla adyacente por lado o por vértice. Por cada casilla visitada (incluida la inicial), Max le paga a Ann un número de monedas igual al número escrito en esa casilla. Max quiere pagar lo menos posible, mientras que Ann quiere escribir los números de tal manera que maximice la cantidad que recibirá. ¿Cuánto dinero le pagará Max a Ann si ambos jugadores siguen sus mejores estrategias? Lev Shabanov

5 Hay una caja fuerte que puede abrirse introduciendo un código secreto formado por $n$ dígitos, cada uno de los cuales es $0$ o $1$ . Inicialmente se introdujeron $n$ ceros y la caja fuerte está cerrada (es decir, todos ceros no es el código secreto). En un intento, se puede introducir una secuencia arbitraria de $n$ dígitos, cada uno de los cuales es $0$ o $1$ . Si la secuencia introducida coincide con el código secreto, la caja fuerte se abrirá. Si la secuencia introducida coincide con el código secreto en más posiciones que la secuencia introducida anteriormente, se escuchará un clic. En cualquier otro caso, la caja fuerte permanecerá cerrada y no habrá clic. Halle el menor número de intentos que es suficiente para abrir la caja fuerte en todos los casos.

6 Sean $a,b,c$ números reales positivos. Demuestre que \[\left((3a^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{b}\right)^2\right)\left((3b^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{c}\right)^2\right)\left((3c^2+1)^2+2\left(1+\frac{3}{a}\right)^2\right)\geq 48^3\]

22 $ABC$ es un triángulo isósceles, con $AB=AC$. $D$ es un punto móvil tal que $AD\parallel BC$, $BD>CD$. El punto móvil $E$ está en el arco de $BC$ en la circunferencia circunscrita de $ABC$ que no contiene a $A$, tal que $EB<EC$. El rayo $BC$ contiene al punto $F$ con $\angle ADE=\angle DFE$. Si el rayo $FD$ interseca al rayo $BA$ en $X$, y al rayo $CA$ en $Y$, demuestra que $\angle XEY$ es un ángulo fijo.

7 Demuestre que no existe ningún primo $p$ tal que toda potencia de $p$ sea un palíndromo (un palíndromo es un número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda; en particular, un número que termina en uno o más ceros no puede ser un palíndromo).

2 Sea $(a_n)_{n\geq 1}$ una sucesión de números reales positivos con la propiedad de que $$(a_{n+1})^2 + a_na_{n+2} \leq a_n + a_{n+2}$$ para todo entero positivo $n$ . Muestre que $a_{2023}\leq 1$ . 2023 Greek TST p2 version

1999.2 En un círculo unitario donde \(O\) es el centro, sean \(A\) y \(B\) puntos sobre el círculo tales que \(\angle BOA = 90^\circ\). Sobre el arco menor \(AB\), sean \(P\) y \(Q\) puntos tales que \(PQ \parallel AB\). Sean \(X\) y \(Y\) los puntos de intersección de la recta \(PQ\) con \(OA\) y \(OB\), respectivamente. Encuentra el valor de \(PX^2 + PY^2\).

Sea $N \geqslant 3$ un entero. En el país de Sibyl, hay $N^2$ ciudades dispuestas como los vértices de una cuadrícula de $N \times N$ , y cada par de ciudades correspondiente a un par de vértices adyacentes de la cuadrícula está conectado por una carretera. A varios drones automatizados se les da la instrucción de recorrer un camino rectangular que comienza y termina en la misma ciudad, siguiendo las carreteras del país. Resultó que cada carretera fue recorrida al menos una vez por algún dron. Determine el número mínimo de drones que deben estar operando. Propuesto por Sutanay Bhattacharya y Anant Mudgal