57 Sean $a, b, c, d$ una permutación de los números $1, 9, 8,4$ y sea $n = (10a + b)^{10c+d}$ . Halle la probabilidad de que $1984!$ sea divisible por $n.$

58 Sea $(a_n)_1^{\infty}$ una sucesión tal que $a_n \le a_{n+m} \le a_n + a_m$ para todos los enteros positivos $n$ y $m$ . Demuestre que $\frac{a_n}{n}$ tiene un límite cuando $n$ tiende a infinito.

59 Determine el menor entero positivo $m$ tal que $529^n+m\cdot 132^n$ sea divisible por $262417$ para todos los enteros positivos impares $n$ .

60 Determine todos los pares $(a, b)$ de números reales positivos con $a \neq 1$ tales que \[\log_a b < \log_{a+1} (b + 1).\] Amir

61 Se lanza repetidamente una moneda honesta hasta que haya una racha de un número impar de caras seguida de una cruz. Determine el número esperado de lanzamientos.

62 Desde un punto $P$ exterior a un círculo $K$ , se trazan dos rayos que intersecan a $K$ en los respectivos pares de puntos $A, A'$ y $B,B' $ . Para cualquier otro par de puntos $C, C'$ sobre $K$ , sea $D$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PAC$ y $PB'C'$ distinto del punto $P$ . Análogamente, sea $D'$ el punto de intersección de las circunferencias circunscritas de los triángulos $PA'C'$ y $PBC$ distinto del punto $P$ . Demuestre que los puntos $P, D$ y $D'$ son colineales.

63 Dentro del triángulo $ABC$ hay tres círculos $k_1, k_2, k_3$ cada uno de los cuales es tangente a dos lados del triángulo y a su circunferencia inscrita $k$ . Los radios de $k_1, k_2, k_3$ son $1, 4$ y $9$ . Determine el radio de $k.$ Amir

64 Para una matriz $(p_{ij})$ de formato $m\times n$ con entradas reales, defínase \[a_i =\displaystyle\sum_{j=1}^n p_{ij}\text{ for }i = 1,\cdots,m\text{ and }b_j =\displaystyle\sum_{i=1}^m p_{ij}\text{ for }j = 1, . . . , n\longrightarrow(1)\] Por «redondear a entero» un número real entendemos reemplazar el número por el entero más cercano a él. Demuestre que redondear a entero los números $a_i, b_j, p_{ij}$ puede hacerse de tal manera que $(1)$ siga siendo válida.

6 Sea $a$ la suma y $b$ el producto de las raíces reales de la ecuación $x^4-x^3-1=0$ . Demuestre que $b < -\frac{11}{10}$ y $a > \frac{6}{11}$ .

65 Un tetraedro está inscrito en una esfera de radio $1$ de modo que el centro de la esfera está dentro del tetraedro. Demuestre que la suma de las longitudes de todas las aristas del tetraedro es mayor que 6.