Romeo no se acuerda del número secreto de su caja fuerte. Sólo recuerda que es un número de 7 cifras, que usa cada uno de los dígitos $2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ exactamente una vez, y que es el menor número que cumple que la suma de cada 3 cifras consecutivas no es múltiplo ni de 2 ni de 3. ¿Cuál es el número secreto de su caja fuerte?

Algunos de los hexágonos de la figura que se muestra abajo a la izquierda se sombrean. Luego, en cada uno de los hexágonos se pone la cantidad de hexágonos sombreados que comparten al menos un lado con ese hexágono, y se considera la suma de todos los números (ver el ejemplo en la figura de la derecha en que la suma es $12 = 1+2+3+1+3+0+1+1+0$). ¿De cuántas formas es posible sombrear algunos de los hexágonos de tal forma que la suma sea $12$? [image]

Águeda olvidó el número que abre su candado, pero tiene apuntado que es un número de 4 cifras, que el producto de las cifras es 72 y que la suma de las cifras es 15. ¿Cuántas combinaciones máximo deberá intentar para lograr abrir el candado?

Se quiere pintar algunos de los cuadros en una cuadrícula de $4\times5$ de negro de tal forma que cada cuadro no pintado comparta por lo menos un lado con algún cuadro pintado. Por ejemplo, una coloración que cumple esto se muestra en la figura de la derecha. Determinar cuál es el mínimo número de cuadros que deben pintarse de negro. (Nota: Debe darse una coloración con la cantidad de cuadros que se determine, y también debe probarse que no es posible con menos.) [image]

En la figura se muestra una forma de partir un triángulo equilátero en 6 triángulos equiláteros en donde el triángulo original tiene lado 3 cm y queda partido en uno de lado 2 cm y 5 de lado 1 cm. Determinar una forma de partir un triángulo equilátero en 23 triángulos equiláteros y, suponiendo que los más pequeños queden con lado 1 cm, decir cuántos quedan de cada medida. [image]

Una lista de números enteros es sucesión aritmética si la diferencia de cada dos términos consecutivos es una misma constante. (Por ejemplo, $(8, 9, 10, 11)$ y $(3, 7, 11, 15, 19)$ son sucesiones aritméticas; en la primera, la constante es 1, y en la segunda es 4; además notamos que la primera empieza en 8 y termina en 11, y la segunda empieza en 3 y termina en 19.) Llamemos una lista de números sorpresiva si sus elementos pueden separarse en tres conjuntos con la misma cantidad de elementos y la misma suma. (Por ejemplo, una lista sorpresiva es $(2, 6, 8, 1, 4, 9)$ pues se puede partir en los conjuntos $\{2, 8\}$, $\{6, 4\}$ y $\{1, 9\}$ y los tres conjuntos tienen 2 elementos y suma 10.) Determinar todas las sucesiones aritméticas que empiecen en 5, terminen en 71 y sean sorpresivas.

En el esquema de la derecha se muestra un cuadrilátero en que las diagonales son perpendiculares entre sí y se intersectan en el punto $O$; la diagonal $AC$ mide 39, y las longitudes de los lados $AB$, $BC$ y $CD$ son como se indica en la figura. Probar que la distancia de $B$ a $O$ es 24 y encontrar el área del triángulo sombreado. [image]

Encontrar todos los enteros de dos dígitos que son iguales al doble del producto de sus dígitos.

Las medidas de los arcos $AP$ y $PB$ en la figura son $20$ y $16$, respectivamente. ¿Cuál es la medida del ángulo $AXP$? [image]

Encontrar un entero positivo $n$ que tenga exactamente seis divisores positivos (incluyendo $1$ y $n$) y tal que el producto de cinco de sus divisores sea $648$.