3 Sea $A$ un conjunto finito de enteros positivos. Demuestre que existe un conjunto finito $B$ de enteros positivos tal que $A \subseteq B$ y \[\prod_{x\in B} x = \sum_{x\in B} x^2.\]

3 Sea \( A \) un conjunto no vacío compuesto de enteros, y sea \( h \) un entero positivo. Defina el conjunto \( T_h(A) \) como todos los números que pueden expresarse como \( a_1 + a_2 + \cdots + a_h \) donde \( a_1, a_2, \ldots, a_h \in A \) y estos elementos son distintos, es decir, \( T_h(A) = \{ x \mid x = a_1 + a_2 + \cdots + a_h, \text{distinct } a_1, a_2, \ldots, a_h \in A \} \) . Dados enteros positivos \( h \) y \( k \) con \( 2 \leq h \leq k - 2 \) y \( k \geq 5 \) , para todos los conjuntos de enteros \( A \) que satisfacen \( |A| = k \) , halle el valor mínimo de \( |T_h(A)| \) .

3 Dado un entero \(b > 1\) y un primo impar \(p\) tal que \(p \parallel b\) (es decir, \(p\) divide a \(b\) pero \(p^2\) no lo divide), halle un entero positivo \(c\) tal que la representación en base - \(b\) de \(c^p\) consiste solo del dígito 1, es decir, \(c^p = (11\cdots 1)_b\) , sin importar el número de dígitos.

1 Sean \(a, b\) números complejos no nulos tales que \(\frac{a}{b}\) no es real. Defina \[L_{a,b} = \{ra + sb \mid r, s \in \mathbb{Z}\}, \quad R_{a,b} = \{z \mid z \neq 0, z \in \mathbb{C}, L_{a,b} = L_{za,zb}\}.\] Halle el máximo número posible de elementos de \(R_{a,b}\) cuando \(a, b\) varían.

2 Dadas dos circunferencias que se intersecan \(O_1\) y \(O_2\) , sean \(A, B\) sus puntos de intersección. Una recta variable que pasa por \(B\) corta nuevamente a \(O_1\) en \(C\) y a \(O_2\) en \(D\) , con \(B\) dentro del segmento \(CD\) . La tangente a \(O_1\) en \(C\) y la tangente a \(O_2\) en \(D\) se intersecan en \(M\) . La recta \(AM\) corta a \(CD\) en \(E\) . Por \(E\) trace una recta paralela a \(DM\) que corta a \(AD\) en \(K\) . Halle el lugar geométrico del punto \(K\) .

2 ¿Para qué primos impares \(p\) existen enteros \(x\) e \(y\) tales que \(p = 5x^2 + y^2\) ? Demuestre su conclusión.

3 Sea \(p \equiv 3 \pmod{4}\) un primo. Para \(i, k \in \{0, 1, \dots, p-1\}\) , construya \(x_{i,k} \in \{0, 1\}\) que satisfaga: \[(a) \sum_{k=0}^{p-1} x_{i,k} = \frac{p+1}{2}, \quad i = 0, 1, \dots, p-1;\] \[(b) \text{For } i, j \in \{0, 1, \dots, p-1\}, i \neq j, \quad \sum_{k=0}^{p-1} |x_{i,k} - x_{j,k}| = \frac{p+1}{2}.\]

1 Sea \(a\) un entero no negativo, \(p\) un primo impar, y \(a < p\) . Halle el número de soluciones \((x, y, z)\) de la congruencia \[x^2 + y^2 + z^2 \equiv a \pmod{p}.\]

2 Halle todas las tuplas de enteros positivos \((a,b,c,d)\) que satisfacen las siguientes condiciones: (a) \(2^{2\alpha} \parallel a\) , donde \(\alpha\) es un entero positivo (es decir, \(2^{2\alpha}\) divide a \(a\) pero \(2^{2\alpha+1}\) no lo divide, y \(\alpha \geq 1\) ) . (b) \(4 \mid b+1\) y \(2 \mid d\) . (c) La representación en base - \(b\) de \(c^d\) consiste exactamente de \(a\) dígitos todos iguales a 1, es decir, \(c^d = \left( \underbrace{11\cdots 1}_{a \text{ digits}} \right)_b\) .

3 Dados enteros positivos \(r\) , \(s\) , \(t\) que satisfacen \(1 < r < s < t\) , considere una \(n\) - tupla de números reales positivos \(x_1, x_2, \cdots, x_n\) tal que \[ \frac{x_j}{x_{j+1}} \leq 1 + \frac{t-s}{j+s} \quad (j=1,2,\cdots,n-1). \] Para todas las \(n\) - tuplas de este tipo, halle el valor mínimo de \[\frac{ \sum_{k=1}^{n} k(k+1) \cdots (k+t-1)x_k} {\sum_{k=1}^{n} (k+r)(k+r+1) \cdots (k+t-1)x_k}. \]