¿Cuántos números entre 1500 y 1900 cumplen que al poner el signo de multiplicación entre la segunda y tercera cifras y realizar la multiplicación de los números de dos cifras que se forman, éste es un cuadrado perfecto? (Por ejemplo, dos números que cumplen la condición son: 1700 y 1872 pues $17 \times 0 = 0^{2}$ y $18 \times 72 = 1296 = 36^{2}$.)

Encontrar una terna $(a, b, c)$ de enteros positivos que cumplan $2a = 3b = 5c$ y que $a^2 + b^2 + c^2$ sea el cubo de un número entero.

Los círculos $C$ y $D$ de la figura se intersectan en $A$ y $B$. El diámetro $CA$ de $C$ es tangente a $D$ en $A$, y $D$ es el punto en $D$ tal que $C$, $B$ y $D$ están alineados. Si $|BD| = 3$ y $|AC| = 2$, ¿cuál es el área de $D$? [image]

Encontrar una terna $(a, b, c)$ de enteros positivos que cumplan $ab + c = 34$ y $a + bc = 29$.

El número que abre un candado está formado por 4 dígitos distintos. ¿Cuál es el número si cada uno de los números siguientes tiene una cifra incorrecta y otra fuera de su lugar? $6427 \quad 4271 \quad 6412 \quad 2671$

El área del triángulo $ABC$ es igual a $40 ext{ cm}^2$. Los puntos $D$, $E$ y $F$ cumplen que $BD = 3AD$, $CE = 3BE$ y $AF = 3CF$. ¿Cuál es el área del triángulo $DEF?$ [image]

¿De cuántas formas es posible llegar del punto $A$ al punto $B$ siguiendo las líneas de la figura si sólo se puede ir hacia abajo y hacia los lados (es decir, en las direcciones marcadas por las flechas en el esquema) pero sin pasar dos veces por el mismo punto? [image]

Una sucesión de números enteros positivos consecutivos se llama balanceada si contiene la misma cantidad de múltiplos de $3$ que de múltiplos de $5$. ¿Cuál es la máxima cantidad de términos que puede tener una sucesión balanceada?

Un papel cuadriculado de $4 \times 7$ como el que se muestra a la derecha se va a cortar con unas tijeras siguiendo algunas líneas de la cuadrícula. Se va a empezar en el borde inferior y se terminará en el borde superior, siempre hacia arriba y hacia los lados pero no hacia abajo, y no es válido empezar (ni terminar) por un lado. ¿De cuántas formas es posible hacerlo si las dos partes deben quedar con la misma área? (Nota: Por ejemplo, un corte como el que se muestra abajo a la izquierda es válido, pero el central y el de la derecha no lo son.) [image]

En la figura, $ABCD$ es un cuadrado y $ABE$ es un triángulo equilátero. La recta $DE$ corta a $BC$ en $F$, y $G$ es el punto sobre $EB$ para el cual $GF$ y $DF$ son perpendiculares. Probar que $FG$ y $EC$ miden lo mismo. [image]