8.1 Demuestre que existe un entero positivo de $2021$ dígitos $\overline{a_1a_2\ldots a_{2021}}$, con todos sus dígitos distintos de cero, tal que para todo $1 \leq n \leq 2020$ se cumple la siguiente igualdad $$\overline{a_1a_2\ldots a_n} \cdot \overline{a_{n+1}a_{n+2}\ldots a_{2021}}=\overline{a_1a_2\ldots a_{2021-n}} \cdot \overline{a_{2022-n}a_{2023-n}\ldots a_{2021}}$$ y los cuatro números de la igualdad son distintos dos a dos.

8.2 Se dan los trinomios cuadráticos $P(x)=x^2+ax+b$ y $Q(x)=x^2+cx+d$, donde $a>c$. Se sabe que para todo $t$ y $s$ reales con $t+s=1$ el polinomio $B(x)=tP(x)+sQ(x)$ tiene al menos una raíz real. Demuestre que $bc \geq ad$.

8.3 La circunferencia inscrita del triángulo $ABC$ es tangente a $BC$, $CA$ y $AB$ en $A_1$, $B_1$ y $C_1$, respectivamente. En los triángulos $AB_1C_1$, $BC_1A_1$ y $CB_1A_1$, los puntos $H_1$, $H_2$ y $H_3$ son los ortocentros. Demuestre que los triángulos $A_1B_1C_1$ y $H_1H_2H_3$ son iguales.

8.4 Varios soldados están parados en fila. Tras una orden, cada uno de ellos giró la cabeza hacia la izquierda o hacia la derecha. Después, cada segundo, cada soldado realiza simultáneamente la siguiente operación: 1) si el soldado mira a la derecha y la mayoría de los soldados a su derecha miran a la izquierda, comienza a mirar a la izquierda; 2) si el soldado mira a la izquierda y la mayoría de los soldados a su izquierda miran a la derecha, comienza a mirar a la derecha; 3) en caso contrario, no hace nada. Demuestre que en algún momento el proceso se detendrá.

8.5 Sea $f(x)$ una función lineal y sean $k,l,m$ números reales distintos dos a dos. Se sabe que $f(k)=l^3+m^3$, $f(l)=m^3+k^3$ y $f(m)=k^3+l^3$. Halle el valor de $k+l+m$.

8.6 Para cuatro enteros positivos $a,b,c$ y $d$ distintos dos a dos se calculan seis números: $ab+10$, $ac+10$, $ad+10$, $bc+10$, $bd+10$ y $cd+10$. Halle la cantidad máxima de ellos que pueden ser cuadrados perfectos.

11.6 La circunferencia inscrita de un triángulo rectángulo $ABC$ toca la hipotenusa $AB$ en $P$, y a $BC$ y $AC$ en $R$ y $Q$, respectivamente. $C_1$ y $C_2$ son los reflejos de $C$ respecto a $PQ$ y $PR$. Halle el ángulo $C_1IC_2$, donde $I$ es el incentro de $ABC$.

11.5 En las celdas de una tabla $2022 \times 2022$ se escriben los números del $1$ al $2022^2$, en cada celda exactamente un número, y todos los números se usan una sola vez. En cada fila, Vlad marca el segundo número más grande de ella; Dima hace lo mismo en cada columna. Resultó que los muchachos marcaron $4044$ números distintos dos a dos, y hay $k$ números marcados por Vlad, cada uno de los cuales es menor que todos los números marcados por Dima. Halle el máximo valor posible de $k$

8.7 La sucesión $n_1<n_2<\ldots < n_k$ consta de todos los enteros positivos $n$ para los cuales en un cuadrado $n \times n$ se pueden marcar $10$ celdas de modo que en cualquier cuadrado $3 \times 3$ se marque una cantidad impar de celdas. Halle $n_{k-2}$.

8.8 Sobre los lados $AB,BC,CD$ y $DA$ de un cuadrado unitario $ABCD$ se eligen los puntos $P,Q,R$ y $S$, respectivamente. Resultó que el perímetro de $PQRS$ es $2\sqrt{2}$. Halle la suma de las perpendiculares trazadas desde $A,B,C,D$ a $SP,PQ,QR,RS$, respectivamente.